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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

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弧状連結空間は連結である

\( \newcommand{\g}{\gamma} \DeclareMathOperator{\Im}{Im} \) 弧状連結な位相空間は連結です.

弧状連結ってなに? \( \to \) 以下が定義です.

位相空間 \( X \) が弧状連結であるとは, 任意の \( x \), \( y \in X \) に対して, \( x \) を始点とし \( y \) を終点とする道が存在することである: ある連続写像 \[ \g \, \colon \, [0,1] \to X \] が存在し, \[ \g(0) = x, \quad \g(1) = y. \]

さて, 弧状連結だとなぜ連結になるのか?

これは, 閉区間の連結性からすぐに従います. 以下に証明を述べましょう.

\( X \) を弧状連結な位相空間とします. 1点 \( x \in X \) を固定します. このとき, 任意の \( y \in X \) に対して, \( x \) と \( y \) をつなぐ道 \( \g_y \)が存在します: \[ \g_y \, \colon \, [0,1] \to X \] は連続写像で, \[ \g_y(0) = x, \quad \g_y(1) = y. \]

1. \[ X = \bigcup_{y \in X} \Im \g_y. \] 当然ですね.

2. \( \Im \g_y \) は連結. \( \leftarrow \) 閉区間 \([0,1]\) の連続像だからです(連結空間の連続写像による像も連結).

3. \[ x \, \in \, \bigcap_{y \in X} \Im \g_y \, \neq \, \emptyset. \]

したがって, \( X \) は連結です. (1 点を共有する連結空間の和も連結である) □

これでいろんな位相空間が連結だと分かりますね.

終わり.

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