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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

1 点を共有する連結空間の和も連結である

\( \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\Sl}{S_{\l}} \newcommand{\belong}{{\l \in \L}} \) \( X \) を位相空間とし, \( \Sl \) \( (\l \in \L) \) を \[ X = \bigcup_{\l \in \L} \Sl \] なる \( X \) の部分集合族とする. 各 \( \Sl \) が連結であり, \[ \bigcap_{\l \in \L} \Sl \neq \emptyset \] であれば, \( X \) も連結である.
証明です. 記号 \( \sqcup \) は直和.

1. \( X \) が連結でないと仮定する: 空でない開集合 \( U \), \( V \) に対して, \[ X = U \sqcup V. \] \( \to \) 矛盾を導きたい.

2. \[ x \in \bigcap_\belong \Sl \] をとる. \( x \in U \) とする. \( x \in V \) でも同じ.

3. \( y \in V \) をとる. \[ y \in \Sl \] となる \( \belong \) がある.

4. \begin{align*} &x \in \Sl \cap U \neq \emptyset, \\[0.5em] &y \in \Sl \cap V \neq \emptyset. \end{align*}

5. \[ \Sl = (\Sl \cap U) \sqcup (\Sl \cap V). \] \( \to \) 矛盾. □

終わり.
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