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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

連結空間の連続写像による像も連結

雑記
\( \DeclareMathOperator{\Im}{Im} \) \( X \) と \( Y \) を位相空間とし, \( f \colon X \to Y \) を連続な全射とする. \( X \) が連結ならば, \( Y \) も連結である.
証明. 記号 \( \sqcup \) は直和. \[ Y = U \sqcup V, \quad \text{\(U\), \(V\) は開} \] とすると, \[ X = f^{-1}(U) \sqcup f^{-1}(V). \] \( X \) は連結だから, \[ f^{-1}(U) = X \quad \text{または} \quad f^{-1}(V) = X. \] したがって, \[ \Im f \subset U \quad \text{または} \quad \Im f \subset V \] となるが, \( f \) は全射だから, \[ U = Y \quad \text{または} \quad V = Y. \] すなわち, Y は連結である. □
一般に, \( f \colon X \to Y \) が連続写像で, \[ \Im f \subset Y' \subset Y \] のとき, \( f \) の値域を \( Y' \) に制限した \( f \colon X \to Y' \) も連続です. 特に, \[ f \colon X \to \Im f \] は連続なので, 次の系が成り立ちます.
\( f \colon X \to Y \) が連続で, \( X \) が連結ならば, \( \Im f \) も連結.
表題のことが示されました. 終わりです.
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