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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

閉区間の連結性

\( \newcommand{\g}{\gamma} \newcommand{\ab}{[a,b]} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \)閉区間 \( \ab \) は連結です. \( a \), \( b \) は \( a < b \) なる実数です.

この事実は実数直線 \(\R\) の連結性から従うのですが, それを少し丁寧に書いてみます.

記号 \( \sqcup \) は直和を表します.

証明. \( [a,b] \) が連結でないとすると, ある \( \R \) の開集合 \( U \), \( V \) があって, \[ [a,b] \subset U \cup V, \quad [a,b] \cap U \neq \emptyset, \quad [a,b] \cap V \neq \emptyset, \quad [a,b] \cap U \cap V = \emptyset \] となる. このとき, \begin{align*} \R &= (- \infty, a) \sqcup [a,b] \sqcup (b, \infty) \\[0.5em] &= (- \infty, a) \sqcup \bigl([a,b] \cap U \bigr) \sqcup \bigl([a,b] \cap V \bigr) \sqcup (b, \infty) \end{align*} である. \( a \not\in U \cap V \) なので, \( a \not\in U \) または \( a \not\in V \) であるが, \( a \not\in U \) とする. \( a \not\in V \) の場合でも同じである. \( b \) についても同様で, \( b \not\in U \) または \( b \not\in V \) が成り立つ.
  1. \( b \not\in U \): このとき, \[ \R = (- \infty, a) \sqcup \bigl((a,b) \cap U \bigr) \sqcup \bigl([a,b] \cap V \bigr) \sqcup (b, \infty) \] である. \begin{align*} U' &:= (- \infty, a) \sqcup \bigl([a,b] \cap V \bigr) \sqcup (b, \infty), \\[0.5em] V' &:= (a,b) \cap U \end{align*} とおくと, これらは空でない開集合で, \( \R = U' \sqcup V' \) .

    (\( U' \) が開集合であることは, 集合に関する分配法則から分かります.)

  2. \( b \not\in V \): このとき, \[ \R = (- \infty, a) \sqcup \bigl((a,b] \cap U \bigr) \sqcup \bigl([a,b) \cap V \bigr) \sqcup (b, \infty) \] である. \begin{align*} U' &:= \bigl((a,b] \cap U \bigr) \sqcup (b, \infty), \\[0.5em] V' &:= (- \infty, a) \sqcup \bigl([a,b) \cap V \bigr) \end{align*} とおくと, これらは空でない開集合で, \( \R = U' \sqcup V' \) .

    (\( U' \), \( V' \) が開集合であることは, 集合に関する分配法則から分かります.)

いずれにせよ \( \R \) が非連結となり, 矛盾である. □
別のやり方もあります.
証明2. 次のような関数 \( f \colon \R \to \R \) を考えます: \[ f(x) = \begin{cases} a & x < a, \\ x & a \le x \le b, \\ b & x > b. \end{cases} \] この関数は連続です. 問題なのは, つなぎ目 \( x = a, \, b \) ですが, これらの点でも左連続かつ右連続なので大丈夫です. 連結空間の連続写像による像も連結なので, \( [a,b] \) は連結です. □
終わり.
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