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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

位相の基礎概念(内部、外部、境界、閉包、触点、集積点、孤立点)

\( \DeclareMathOperator{\Int}{Int} \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \newcommand{\i}{\Int A} \newcommand{\e}{\Ext A} \newcommand{\b}{\partial A} \newcommand{\c}{\overline{A}} \)\( A \) を位相空間 \( X \) の部分集合とする. このとき, \( X \) の点 \( x \) は次の3種類に分類される:
  1. \( x \) のある開近傍 \( U \) があって, \( U \subset A \). (つまり, \( x \) 自身を含めて \( x \) の周りは \( A \) の点ばかり.)
  2. \( x \) のある開近傍 \( U \) があって, \( U \subset A^{c} \). (つまり, \( x \) 自身を含めて \( x \) の周りは \( A^c \) の点ばかり.)
  3. \( x \) のどのような開近傍も \( A \) の点と \( A^c \) の点を含む. (\( x \) は, \( A \) の点と \( A^c \) の点が混ざり合う場所.)
それぞれの点の全体は,
  1. \( \i \),
  2. \( \e \),
  3. \( \b \)
と書かれる. \( X = \i \sqcup \e \sqcup \b \) (直和)である. 当然である. それぞれ,
  1. \( A \) の内部(interior),
  2. \( A \) の外部(exterior),
  3. \( A \) の境界(boundary)
と呼ばれる.
  • \( x \) の開近傍は必ず \( A \) の点を含む.(つまり, \( x \) のどんな近くにも \( A \) の点がいる. それは, \( x \) 自身かもしれない.)
をみたす \( x \in X \) は \( A \) の触点と呼ばれる. \( \i \sqcup \b \) の点といってもよい. すぐにわかるが, 上の条件の否定が外部の条件になることからもわかる. \( A \) の触点の全体は, \( A \) の閉包と呼ばれる. 記号では, \( \c \) と書く:
  • \( \c := \i \sqcup \b \).
\( A \) の触点 \( x \) は次の2種類に分類される:
  1. \( x \) の開近傍から \( x \) を除いたものが必ず \( A \) の点を含む. (つまり, \( x \) のどんな近くにも \( A \) の点がいる. それは, \( x \) 自身ではない.)
  2. \( x \in A \) であり, \( x \) のある開近傍が存在して, \( x \) 以外に \( A \) の点を含まない. (つまり, \( x \in A \) であり, 近くには仲間がいない.)
実際, 1 あるいは 2 をみたす点 \( x \in X \) は明らかに触点であり, 1 と 2 が同時にみたされることはない. また, 触点は必ず 1 か 2 をみたす. 1 をみたさない触点は, 必ず 2 をみたすからである. 上の 1, 2 をみたす点はそれぞれ,
  1. \( A \) の集積点,
  2. \( A \) の孤立点
と呼ばれる.
終わり.
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