レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習20

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \)\( f(x) \in K[x] \) は既約なので, 重根をもたない. \( f(x) \) の \( \C \) における根を, \( \a \), \( \b_1 \), \( \ldots \), \( \b_n \) \( (n \ge 0) \) とし,

\[ g(x) = \prod_{i=1}^n (x - \b_i) \] とする. このとき \[ f(x) = (x - \a) g(x) \] である. これを微分したもの \[ f'(x) = g(x) + (x - \a) g'(x) \] に \(x = \a \) を代入すると, \[ f'(\a) = g(\a) = \prod_{i=1}^n (\a - \b_i) \] である. □