レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習19

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma_i} \newcommand{\sd}{\sigma_{i'}} \newcommand{\t}{\tau_j} \newcommand{\td}{\tau_{j'}} \)\( f(x) = b_0 + b_1 x + \cdots + b_{n-1} x^{n-1} + x^n \in R[x] \), \( n \ge 1 \) に対して,

\begin{align*} &\begin{vmatrix} 1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} & f(a_1) \\ 1 & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} & f(a_2) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_{n+1} & \cdots & a_{n+1}^{n-1} & f(a_{n+1}) \end{vmatrix} \\[1em] &= \sum_{i=0}^{n-1} b_i \begin{vmatrix} 1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} & a_1^i \\ 1 & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} & a_2^i \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_{n+1} & \cdots & a_{n+1}^{n-1} & a_{n+1}^i \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} & a_1^n \\ 1 & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} & a_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_{n+1} & \cdots & a_{n+1}^{n-1} & a_{n+1}^n \end{vmatrix} \\[1em] &= \begin{vmatrix} 1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} & a_1^n \\ 1 & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} & a_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_{n+1} & \cdots & a_{n+1}^{n-1} & a_{n+1}^n \end{vmatrix}. \end{align*} したがって, \( f(x) = (x - a_1) \cdots (x - a_n) \) とするとき、 \begin{align*} &\begin{vmatrix} 1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} & f(a_1) \\ 1 & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} & f(a_2) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_{n+1} & \cdots & a_{n+1}^{n-1} & f(a_{n+1}) \end{vmatrix} \\[1em] &= \begin{vmatrix} 1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} & 0 \\ 1 & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_{n+1} & \cdots & a_{n+1}^{n-1} & (a_{n+1} - a_1) \cdots (a_{n+1} - a_n) \end{vmatrix} \\[1em] &= (a_{n+1} - a_1) \cdots (a_{n+1} - a_n) \begin{vmatrix} 1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_{n} & \cdots & a_{n}^{n-1} \end{vmatrix}. \end{align*} これは, 帰納法の仮定より, \[ (a_{n+1} - a_1) \cdots (a_{n+1} - a_n) \prod_{1 \le r < s \le n} (a_s - a_r) = \prod_{1 \le r < s \le n+1} (a_s - a_r) \] に等しい. □