レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習17

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \DeclareMathOperator{\tr}{tr} \)\( \a \in L \) とする. \( [L:K[\a]] = m \) とし, \( [K[\a]:K] = l \) とする.

\[ 1, \a, \a^2, \ldots, \a^{l-1} \] は \( K[\a] / K \) の基底である. \[ \b_1, \b_2, \ldots, \b_m \] を \( L / K[\a] \) の基底とすると, \[ \b_1, \b_1 \a, \ldots, \b_1 \a^{l-1}, \ldots, \b_m, \b_m \a, \ldots, \b_m \a^{l-1} \] は \( L / K \) の基底である. \( \a \) の \( K \) 上の最小多項式を \[ x^l + a_1 x^{l-1} + \cdots + a_l, \quad a_i \in K \] とするとき, この基底に関する \( \a \) 倍写像の表現行列 \( A \) は, \[ A = \begin{pmatrix} B & & & \\ & B & & \\ & & \ddots & \\ & & & B \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & & & & -a_l \\ 1 & 0 & & & -a_{l-1} \\ 0 & 1 & \ddots & & \vdots \\ & \ddots & \ddots & 0 & -a_2 \\ & & 0 & 1 & -a_1 \end{pmatrix} \] である. このとき, \begin{align*} \tr B &= -a_1, \\ \det B & = (-1)^l a_l \end{align*} であるから, \begin{align*} \tr A &= m \tr B = m( -a_1 ) = T_K^L(\a), \\ \det A & = (\det B)^m = \left( (-1)^l a_l \right)^m = N_K^L(\a) \end{align*} である. □
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