レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習16

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\rt}{\sqrt{3}} \newcommand{\Zrt}{\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]} \newcommand{\form}{a^2 + 5 b^2} \newcommand{\elep}{1 + \sqrt{-5}} \newcommand{\elem}{1 - \sqrt{-5}} \newcommand{\elepm}{1 \pm \sqrt{-5}} \)\( \a \) の \( \Q \) 上の最小多項式は

\[ x^4 -2 \in \Q[x] \]

であるので, \( \a \) の \( Q \) 上の共役元は, \( a \), \( \a i \), \( \a i^2 \), \( \a i^3 \) である. したがって, \( \Q[\a] \) の \( \C \) への埋め込みは,

\begin{align} \s_0 &: \, \a \mapsto \a, \\ \s_1 &: \, \a \mapsto \a i, \\ \s_2 &: \, \a \mapsto \a i^2,\\ \s_3 &: \, \a \mapsto \a i^3 \end{align}

である. \( 1 \le k \le 3 \) に対して,

\[ T(\a^k) = \sum_{h=0}^3 \s_h (\a^k) = \sum_{h=0}^3 (\a i^{\, h})^k = \a^k \sum_{h=0}^3 (i^k)^h = \a^k \frac{1 - i^{4k}}{1 - i^k} = 0 \] であることに注意する. \[ \rt = a + b \a + c \a^2 + d \a^3, \quad a, b, c, d \in \Q \] と書く.

(i) \( a = 0 \) を示す. 上の注意により,

\[ T(\rt) = a T(1) + b T(\a) + c T(\a^2) + d T(\a^3) = 4a \] である. 一方, \( \rt \) の \( \Q \) 上の最小多項式は \[ x^2 - 3 \in \Q[x] \] であるから(アイゼンシュタインの既約判定法によりわかる), \[ T(\rt) = 0 \] である. これより, \( a = 0 \) である.

(ii) \( b = 0 \) を示す.

\[ \frac{\rt}{\a} = b + c \a + d \a^2 \] なので, \[ T \left(\frac{\rt}{\a} \right) = 4b. \] 一方, \( \rt/\a \) の \( \Q \) 上の最小多項式は \[ x^4 - \frac{9}{2} \in \Q[x] \] であるので(この多項式の既約性は, \(2 - 9x^4\) の既約性と同値である. 後者の既約性はアイゼンシュタインの既約判定法から従う.次数 \( n \) の多項式 \( f(x) \in \Q[x] \) に対して, \[ f(x) \, \text{が} \, \Q \, \text{上既約} \Longleftrightarrow x^n f \left( \frac{1}{x} \right) \, \text{が} \, \Q \, \text{上既約} \] に注意すればよい), \[ T \left(\frac{\rt}{\a} \right) = 0. \] したがって, \( b = 0 \) である.

(iii) \( c = 0 \) を示す.

\[ \frac{\rt}{\a^2} = c + d \a \] なので, \[ T \left(\frac{\rt}{\a^2} \right) = 4c. \] 一方, \( \rt/\a^2 \) の \( \Q \) 上の最小多項式は \[ x^2 - \frac{3}{2} \in \Q[x] \] であるので, \[ T \left(\frac{\rt}{\a^2} \right) = 0. \] したがって, \( c = 0 \) である.

(iv) \( d = 0 \) を示す.

\[ \frac{\rt}{\a^3} = d \] なので, \[ T \left(\frac{\rt}{\a^3} \right) = 4d. \] 一方, \( \rt/\a^3 \) の \( \Q \) 上の最小多項式は \[ x^4 - \frac{9}{8} \in \Q[x] \] であるので(この多項式の既約性は, \(16x^4 - 18\) の既約性, したがって \( x^4 - 18 \) の既約性と同値である. 最後のものの既約性はアイゼンシュタインの既約判定法から従う. \( 0 \neq a \in \Q \) に対して, \[ f(x) \, \text{が} \, \Q \, \text{上既約} \Longleftrightarrow f(ax) \, \text{が} \, \Q \, \text{上既約} \] に注意すればよい), \[ T \left(\frac{\rt}{\a^3} \right) = 0. \] したがって, \( d = 0 \) である.

以上より, \(\rt = 0\) であるが, これは矛盾である. □

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