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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

最大公約多項式、最小公倍多項式と体の拡大

雑記
\( \newcommand{\Kx}{K[x]} \newcommand{\Lx}{L[x]} \)

気になって考えたので, メモ.

問い.

\( K \subset L \) を体の拡大とし,

\[ f(x), g(x) \in \Kx \]

とする. これらの最大公約多項式は, \( \Kx \) の中で考えた場合と \( \Lx \) の中で考えた場合で異なるだろうか?

答え.

同じである.

理由.

\( \Kx \) の中で考えたものを

\[ d(x) \in \Kx, \]

\( \Lx \) の中で考えたものを

\[ e(x) \in \Lx \]

とする(モニックにとる).

  1. まず, \( d(x) \mid e(x) \) である(\( \Lx \) において).
  2. 次に, \[ a(x) f(x) + b(x) g(x) = d(x), \quad \exists a(x), \, b(x) \in \Kx \] であるから, \( e(x) \mid d(x) \) である(\( \Lx \) において).

したがって, \( d(x) = e(x) \) である. 終わり.

ユークリッドの互除法からも分かります.

最小公倍多項式も等しくなります. なぜなら, \( \Kx \) におけるものを \( l(x) \in \Kx \), \( \Lx \) におけるものを \( m(x) \) とすると,

\begin{align*} f(x) g(x) &= d(x) l(x), \\ f(x) g(x) &= e(x) m(x) \end{align*}

となりますが, \( d(x) = e(x) \) より, \( l(x) = m(x) \) となるからです. 終わり.

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