読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

多変数の多項式環

\( \newcommand{\RX}{R[X]} \newcommand{\p}{\varphi} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\t}{\tau} \)

多変数の多項式環の定式化も, 一変数の場合と同じようにしてできるので, やってみます.

定義.

\( X = \{ x_1, \ldots, x_n \} \) \( (n \ge 1) \) を有限集合とする. \( R \) を可換環とし, \( P \) を \( R \) 代数とする. 写像

\[ \s \colon X \to P \]

の固定された \( P \) が次の条件をみたすとき, \( P \) は「\( X \) を変数とする \( R \) 上の多項式環」と呼ばれる.

(条件) \( (x_1^{m_1} \cdots x_n^{m_n})_{m_1, \ldots, m_n \ge 0} \) は \( P \) の \( R \) 加群としての基底である.

\( X \) を変数とする \( R \) 上の多項式環を \( \RX \) と書く.

注 1. 上で, \( \s(x_i) \) のことを単に \( x_i \) と書きました.

注 2. \( x_1, \ldots, x_n \) は \( R \) 上一次独立なので, \( \s \) は単射です.

多変数多項式環の普遍性.

\( S \) を \( R \) 代数とし, 写像

\[ \t \colon X \to S \]

が与えられているとする. このとき, 図式

\( X \) \( \stackrel{\large \s}{\longrightarrow} \) \( P \)
\( \longrightarrow \) \( \phantom{\p} \downarrow \p \)
\( S \)
\( X \) \( \stackrel{\large \s}{\longrightarrow} \) \( P \)
\( \begin{matrix} {} \\ \t \,\,\, \end{matrix} \) \( \phantom{\p} \downarrow \p \)
\( S \)

を可換にする \( R \) 代数の準同型

\[ \p \colon P \to S \]

がただ1つ存在する.

普遍性により, \( X \) を変数とする \( R \) 上の多項式環がすべて同一視されることも, 一変数の場合と同様です.

広告を非表示にする