ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

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多項式環の定義

\( R \) を可換環とし, \( P \) を \( R \) 代数(定義はこちら: 多項式の法 \( n \) での還元)とする. 1 点 \( x \in P \) の固定された \( P \) が次の条件をみたすとき, \( R \) 上の多項式環という.

(条件) \( (x^n)_{n \ge 0} \) は \( P \) の \( R \) 加群としての基底である.

このような \( P \) を \( R[x] \) と書く.

注意. \( R \) 代数 \( \iota \colon R \to S \) は, \( r \in R \) の作用を

\[ r \cdot a = \iota(r) a \quad (a \in S) \]

と定めることにより, \( R \) 加群とみなせます. また, 通常 \( \iota(r) \) は単に \( r \) と書かれます.

この定義に基づいて, 多項式環の普遍性を示すつもりだったのですが, 疲れたのでまた今度にします.

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