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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

多項式の法 \(n\) での還元

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Zn}{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}} \newcommand{\Zx}{\mathbb{Z}[x]} \newcommand{\Znx}{\left( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \right) [x]} \newcommand{\f}{f(x)} \newcommand{\g}{g(x)} \newcommand{\h}{h(x)} \newcommand{\fbar}{\overline{f}(x)} \newcommand{\gbar}{\overline{g}(x)} \newcommand{\hbar}{\overline{h}(x)} \newcommand{\az}{a_0} \newcommand{\ao}{a_1} \newcommand{\anm}{a_{n-1}} \newcommand{\an}{a_n} \newcommand{\azbar}{\overline{a_0}} \newcommand{\aobar}{\overline{a_1}} \newcommand{\anmbar}{\overline{a_{n-1}}} \newcommand{\anbar}{\overline{a_n}} \newcommand{\pol}{\az x^n + \ao x^{n-1} + \cdots + \anm x + \an} \newcommand{\polbar}{\azbar \, x^n + \aobar \, x^{n-1} + \cdots + \anmbar \, x + \anbar} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\p}{\varphi} \)

\( \Z \) 上の多項式

\[ \f = \pol \]

に, \( \Zn \) 上の多項式

\[ \fbar = \polbar \]

を対応させる写像を「法 \( n \) での還元」といいます.

前回と前々回の記事においては, この写像が環準同型であることを暗黙のうちに使っています.

これは簡単に示されることですが, 「法 \( n \) での還元」をそもそも環準同型として定義する方法もありますので, その方法を紹介してみたいと思います.

多項式環の普遍性.

\( \a \colon R \to S \) を環準同型とし, \( a \in S \) とするとき, 次の条件をみたす環準同型

\[ \p \colon R[x] \to S \]

がただ1つ存在する.

  1. 図式
    \( R \) \( \longrightarrow \) \( R[x] \)
    \( \longrightarrow \) \( \phantom{\p} \downarrow \p \)
    \( S \)
    \( R \) \( \longrightarrow \) \( R[x] \)
    \( \begin{matrix} {} \\ \a \,\,\, \end{matrix} \) \( \phantom{\p} \downarrow \p \)
    \( S \)
    は可換.
  2. \( \p(x) = a \).

環準同型

\[ \a \colon R \to S \]

が固定されている可換環 \( S \) を \( R \) 代数といいます. また, 2 つの \( R \) 代数

\begin{align*} \a &\colon R \to S, \\[0.5em] \b &\colon R \to T \end{align*}

に対して, 図式

\( R \) \( \stackrel{\large \a}{\longrightarrow} \) \( S \)
\( \longrightarrow \) \( \phantom{\p} \downarrow \p \)
\( T \)
\( R \) \( \stackrel{\large \a}{\longrightarrow} \) \( S \)
\( \begin{matrix} {} \\ \b \,\,\, \end{matrix} \) \( \phantom{\p} \downarrow \p \)
\( T \)

を可換にするような環準同型 \( \p \colon S \to T \) を \( R \) 代数の準同型といいます.

この用語を用いれば, 「多項式環の普遍性」は次のように表現されます:

\[ \p(x) = a \]

となるような \( R \) 代数の準同型

\[ \p \colon R[x] \to S \]

がただ1つ存在する.

合成

\[ \Z \to \Zn \to \Znx \]

を与えることにより, \( \Znx \) は \( \Z \) 代数となります. したがって, 多項式環の普遍性により,

\[ \p(x) = x \]

をみたす \( \Z \) 代数の準同型

\[ \p \colon \Zx \to \Znx \]

がただ1つ存在します. この \( \p \) のことを「法 \( n \) での還元」と呼びます.

\[ \f = \pol \in \Zx \]

に対して

\begin{align*} \p (\f) &= \p(a_0) \p(x)^n + \p(a_1) \p(x)^{n-1} + \cdots + \p(a_{n-1}) \p(x) + \p(a_n) \\ & = \polbar \end{align*}

なので, これは冒頭で見た写像と同じです.

可換図式書くの大変だ. 疲れた.
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