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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

アイゼンシュタインの既約判定法

雑記

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}} \newcommand{\Zx}{\mathbb{Z}[x]} \newcommand{\Zpx}{\left( \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right) [x]} \newcommand{\f}{f(x)} \newcommand{\g}{g(x)} \newcommand{\h}{h(x)} \newcommand{\fbar}{\overline{f}(x)} \newcommand{\gbar}{\overline{g}(x)} \newcommand{\hbar}{\overline{h}(x)} \newcommand{\az}{a_0} \newcommand{\ao}{a_1} \newcommand{\anm}{a_{n-1}} \newcommand{\an}{a_n} \newcommand{\azbar}{\overline{a_0}} \newcommand{\aobar}{\overline{a_1}} \newcommand{\anmbar}{\overline{a_{n-1}}} \newcommand{\anbar}{\overline{a_n}} \newcommand{\pol}{\az x^n + \ao x^{n-1} + \cdots + \anm x + \an} \newcommand{\polbar}{\azbar \, x^n + \aobar \, x^{n-1} + \cdots + \anmbar \, x + \anbar} \)多項式

\[ \f = \pol \in \Zx \]

を \( \bmod p \) で還元する(\( p \) は素数):

\[ \fbar = \polbar \, \in \, \Zpx. \]

この単純な手続きの応用として, 「アイゼンシュタインの既約判定法」が導かれる.

\( \fbar \) の係数が,

\[ \label{coeff} \azbar \neq 0, \quad \aobar = \cdots = \anbar = 0 \tag{#} \]

であったとしてみる. このとき,

\[ \f = \g \, \h \quad \bigl(\g, \h \in \Zx \bigr) \]

であるとすると, これを \( \bmod p \) で還元して,

\[ \azbar \, x^n = \gbar \, \hbar \]

を得る. 体上の多項式環は一意分解整域であるから,

\[ \gbar = B x^m \quad \bigl( 0 \neq B \in \Zp, \quad 0 \le m \le n \bigr) \]

でなければならない. つまり,

\[ \g = b_0 x^m + b_1 x^{m-1} + \cdots + b_{m-1} x + b_m \]

とすると(\(\deg g =\deg \overline{g} = m\) なので, こう置ける. これは,

\[ \deg g + \deg h = \deg \overline{g} + \deg \overline{h}, \quad \deg g \ge \deg \overline{g}, \quad \deg h \ge \deg \overline{h} \]

より分かる.),

\[ p \not\mid b_0 , \quad p \mid b_1, \quad \cdots, \quad p \mid b_m. \]

これより, 次のことが分かる: (\ref{coeff}) が成り立つとき, \( \f \) の 1 次以上の因子の定数項は \( p \) の倍数.

さて, \( \f \) が \( \Z \) 上可約であるとすると,

\[ \f = \g \, \h, \quad \g, \, \h \in \Zx, \quad \deg g, \, \deg h \ge 1 \]

と書ける. \( \g \) と \( \h \) の定数項は \( p \) の倍数であるから, \( \f \) の定数項は \( p^2 \) の倍数でなければならない.

以上の考察をまとめると, 次のようになる:

\[ \f = \pol \in \Zx \]

\[ p \not\mid \az , \quad p \mid \ao, \quad \cdots, \quad p \mid \an \]

をみたし, \( \Z \) 上可約であれば,

\[ p^2 \mid \an. \]

あるいは, 対偶をとると, 次のようになる:

\( \f \) が

\[ p \not\mid \az , \quad p \mid \ao, \quad \cdots, \quad p \mid \an, \quad p^2 \not\mid \an \]

をみたせば, \( \Z \) 上既約.

上の命題は, 「アイゼンシュタインの既約判定法」と呼ばれている.

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