レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習15

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\rt}{\sqrt{-5}} \newcommand{\Zrt}{\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]} \newcommand{\form}{a^2 + 5 b^2} \newcommand{\elep}{1 + \sqrt{-5}} \newcommand{\elem}{1 - \sqrt{-5}} \newcommand{\elepm}{1 \pm \sqrt{-5}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\c}{\gamma} \)(a) \(\a \in \Zrt \)とし,

\[ \a = a + b\rt, \quad a, b \in \Z \] と書く. このとき, \[ N(\a) = \left(a + b\rt \right) \left(a - b\rt \right) = \form. \]

方程式

\begin{align} \form &= 2,\\ \form &= 3 \end{align}

は整数解をもたないので, \( \Zrt \) にノルムが \( 2 \), \( 3 \) の元はない. \( \Box \)

(b)

\[ 2 = \b \c, \quad \b, \c \in \Zrt \]

とする. 両辺のノルムをとると,

\[ 4 = N(\b) N(\c). \]

これより, \( N(\b) = 1\) または \( N(\c) = 1\) であるので, \( \b \), \( \c \) のどちらかは単数である. よって, \( 2 \) は \( \Zrt \) において既約. 同様にして, \( 3 \), \( \elepm \) が \( \Zrt \) において既約であることが示せる.

\begin{gather} N(2) = 4, \\ N(\elepm) = 6 \end{gather}

であるから, \( 2 \) は \( \elepm \) と同伴でない. したがって,

\[ 2 \cdot 3 = ( \elep ) ( \elem ) \] は \( \Zrt \) における素元分解の一意性の反例である. \( \Box \)