Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習14

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\r}{\sqrt{2}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\s}{\sigma} \)等式

\[ \left( 1 + \r \right) \left( -1 + \r \right) = 1 \]

が成り立つので, \( 1 + \r \) は \( \Z[\r] \) の単数. また,

\[ 1 + \r > 1 \]

であるので, \( 1 + \r \) は \( 1 \) の冪根ではない.

\[ \e := 1 + \r \] とおき, \( \s \) を \( \s(\r) = -\r \) である \( \Q(\r) \) の自己同型とする. このとき, \[ \e \s(\e) = -1 \] であるから, 任意の \( k \in \Z \) に対して, \[ \e^k \s(\e^k) = (-1)^k. \] よって, \[ \e^k = a_k + b_k \r, \quad a_k, b_k \in \Z \] とすると, \[ a_k^2 - 2 b_k^2 = (-1)^k. \] すなわち, \( (a_k, b_k) \) はディオファントス方程式 \[ a^2 - 2 b^2 = (-1)^k \] の解である. \( \Box \)