ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

同伴行列 あるいは コンパニオン行列 (1)

多項式

\[ p(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \]

に対して, 行列

\[ \begin{pmatrix} 0 & & & & -a_0 \\ 1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ & & & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix} \]

をその同伴行列, あるいは, コンパニオン行列という.

この行列の固有多項式は, もとの \( p(x) \) であるという話.

取り敢えず, 計算して確かめてみる.

\[ f_{n-1} := x + a_{n-1} \] とおくと, 固有多項式は, \begin{align} \begin{vmatrix} x & & & & & a_0 \\ -1 & x & & & & a_1 \\ & -1 & \ddots & & & \vdots \\ & & \ddots & x & & a_{n-3} \\ & & & -1 & x & a_{n-2} \\ & & & & -1& f_{n-1} \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} x & & & & & a_0 \\ -1 & x & & & & a_1 \\ & -1 & \ddots & & & \vdots \\ & & \ddots & x & & a_{n-3} \\ & & & -1 & 0 & f_{n-2} \\ & & & & -1& f_{n-1} \end{vmatrix} \\[1em] &= \begin{vmatrix} x & & & & a_0 \\ -1 & x & & & a_1 \\ & -1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & x & a_{n-3} \\ & & & -1 & f_{n-2} \end{vmatrix}. \end{align}

ここで,

\[ f_{n-2} := f_{n-1} x + a_{n-2}. \]

この計算を繰り返すと,

\begin{align} \cdots = \begin{vmatrix} x & a_0 \\ -1& f_1 \end{vmatrix} = f_0 \end{align}

となる.

さて, \( f_0 \) はどのような多項式であるか?

\( f_i \) の定義より,

\begin{alignat}{2} f_n & \,= \, 1, & & \\[0.5em] f_{n-1} & \,= \, f_n x + a_{n-1} & & \,= \, x + a_{n-1}, \\[0.5em] f_{n-2} & \,= \, f_{n-1} x + a_{n-2} & & \,= \, x^2 + a_{n-1} x + a_{n-2} , \\[0.5em] f_{n-3} & \,= \, f_{n-2} x + a_{n-3} & & \,= \, x^3 + a_{n-1} x^2 + a_{n-2} x + a_{n-3} ,\\[0.5em] & \cdots & & \\[0.5em] f_{1} & \,= \, f_{2} x + a_{1} & & \,= \, x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + a_2 x + a_1, \\[0.5em] f_{0} & \,= \, f_{1} x + a_{0} & & \,= \, x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0. \end{alignat}

\( f_0 = p(x) \) なので, 固有多項式は \( p(x) \).