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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

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単因子 最小多項式 ケーリー・ハミルトンの定理

\( \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \) \( A \) を \( n \times n \) 複素行列とします.

1. 行列 \( xI - A \) の単因子を求めます:

\[ xI - A \quad \xrightarrow{\text{基本変形}} \quad \begin{pmatrix} e_1(x) & & & \\ & e_2(x) & & \\ & & \ddots & \\ & & & e_n(x) \end{pmatrix}. \]

各 \( e_i(x) \) はモニックな多項式で,

\[ e_1(x) \mid e_2(x) \mid \cdots \mid e_n(x). \]

2. 前回(最小多項式の計算方法)述べたことにより, \( e_n(x) \) は行列 \( A \) の最小多項式です:

\[ \varphi_A(x) = e_n(x). \]

3. ある \( 0 \neq c \in \C \) が存在して,

\[ \det(xI - A) = c \, e_1(x) \, e_2(x) \, \cdots \, e_n(x) \]

なので,

\[ \varphi_A(x) \mid \det(xI - A). \]

右辺は行列 \( A \) の固有多項式 \( \Phi_A(x) \) です. したがって,

\[ \Phi_A(A) = 0. \]

これは, 「ケーリー・ハミルトンの定理」と呼ばれています.

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