ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

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最小多項式の計算方法

行列 \( A \) の最小多項式を求めます.

1. 基本変形で, \( xI - A \) を対角行列にもっていきます:

\[ xI - A \quad \longrightarrow \quad \begin{pmatrix} f_1(x) & & & \\ & f_2(x) & & \\ & & \ddots & \\ & & & f_n(x) \end{pmatrix}. \]

各 \( f_i(x) \) はモニックであるとしておきます. (\( f_i(x) \neq 0 \) です. 両辺の行列式の比較により分かります.)

2. 各 \( f_i(x) \) を因数分解します:

\( f_1(x) \) \( = \) \( (x-\alpha_1)^{d_{11}} \) \( \cdots \) \( (x-\alpha_r)^{d_{1r}} \),
\( f_2(x) \) \( = \) \( (x-\alpha_1)^{d_{21}} \) \( \cdots \) \( (x-\alpha_r)^{d_{2r}} \),
\( \cdots \)
\( f_n(x) \) \( = \) \( (x-\alpha_1)^{d_{n1}} \) \( \cdots \) \( (x-\alpha_r)^{d_{nr}} \).
\( \!\!\!\!\! \downarrow \) \( \!\!\!\!\! \downarrow \)
\( (x-\alpha_1)^{d_1} \) \( \cdots \) \( (x-\alpha_r)^{d_r} \)

最後で, 指数が最大のところを取り出しました. このとき, 行列 \( A \) の最小多項式は,

\[ \DeclareMathOperator{\lcm}{lcm} \varphi_A(x) = (x-\alpha_1)^{d_1} \cdots (x-\alpha_r)^{d_r} = \lcm (\,f_1(x), \, \ldots, \, f_n(x) \,) \]

となります.

3. 理由. 行列 \( A \) のジョルダン標準形 \( J \) は,

\[ \begin{align} & J_{d_{11}}(\alpha_1), \, \cdots, \, J_{d_{1r}}(\alpha_r), \\[0.5em] & J_{d_{21}}(\alpha_1), \, \cdots, \, J_{d_{2r}}(\alpha_r), \\[0.5em] & \quad \cdots \\[0.5em] & J_{d_{n1}}(\alpha_1), \, \cdots, \, J_{d_{nr}}(\alpha_r) \end{align} \]

を並べたもの. よって,

\[ \varphi_A(x) = \varphi_J(x) = (x - \alpha_1)^{d_1} \cdots (x - \alpha_r)^{d_r}. \]