\( J \) を行列 \( A \) のジョルダン標準形とします. このとき, ある正則行列 \( P \) があって,
\[
P^{-1} A P = J.
\]
多項式
\[
f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n \in \mathbb{C}[x]
\]
に対して,
\begin{align}
f(J) &= f(P^{-1} A P) \\[0.5em]
&= a_0 (P^{-1} A P)^n + a_1 (P^{-1} A P)^{n-1} + \cdots + a_n (P^{-1} A P)^0 \\[0.5em]
&= a_0 (P^{-1} A^n P) + a_1 (P^{-1} A^{n-1} P) + \cdots + a_n (P^{-1} A^0 P) \\[0.5em]
&= P^{-1} f(A) P.
\end{align}
したがって,
\[
f(A) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad f(J) = 0.
\]
よって, \( A \) と \( J \) の最小多項式は同じです.
ジョルダン標準形の最小多項式は分かるので（ジョルダン標準形の最小多項式）,
ジョルダン標準形が求まれば, \( A \) の最小多項式も分かります.