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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

ジョルダン標準形が分かれば、最小多項式も分かる。

雑記
\( J \) を行列 \( A \) のジョルダン標準形とします. このとき, ある正則行列 \( P \) があって, \[ P^{-1} A P = J. \]
多項式 \[ f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n \in \mathbb{C}[x] \] に対して, \begin{align} f(J) &= f(P^{-1} A P) \\[0.5em] &= a_0 (P^{-1} A P)^n + a_1 (P^{-1} A P)^{n-1} + \cdots + a_n (P^{-1} A P)^0 \\[0.5em] &= a_0 (P^{-1} A^n P) + a_1 (P^{-1} A^{n-1} P) + \cdots + a_n (P^{-1} A^0 P) \\[0.5em] &= P^{-1} f(A) P. \end{align} したがって, \[ f(A) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad f(J) = 0. \] よって, \( A \) と \( J \) の最小多項式は同じです.
ジョルダン標準形の最小多項式は分かるので(ジョルダン標準形の最小多項式), ジョルダン標準形が求まれば, \( A \) の最小多項式も分かります.
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