ジョルダン細胞
\begin{align}
&J_{l_1}(\alpha), \, \ldots, \, J_{l_r}(\alpha), \\[0.5em]
&J_{m_1}(\beta), \, \ldots, \, J_{m_s}(\beta), \\[0.5em]
&\cdots \\[0.5em]
&J_{n_1}(\gamma), \, \ldots, \, J_{n_t}(\gamma)
\end{align}
を対角に並べたジョルダン標準形 \( J \) の最小多項式 \( \varphi_J(x) \) を求めます.
（行列 \( A \) の最小多項式を \( \varphi_A(x) \) と書くことにします.）
ここで,
\[
\alpha, \, \beta, \, \ldots, \, \gamma \in \mathbb{C}
\]
で,
\begin{align}
&l_1 \le \cdots \le l_r, \\[0.5em]
&m_1 \le \cdots \le m_s, \\[0.5em]
&\cdots \\[0.5em]
&n_1 \le \cdots \le n_t.
\end{align}
（ジョルダン細胞 \( J_k(\alpha) \) の定義はこちら： ジョルダン標準形の計算方法）
要点は次の事実：
\[
A =
\begin{pmatrix}
A_1 & & & \\
& A_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & A_k
\end{pmatrix}, \quad \text{\( A_i \) は正方行列}
\]
のとき,
\[
\DeclareMathOperator{\lcm}{lcm}
\varphi_A(x) = \lcm(\, \varphi_{A_1}(x), \, \varphi_{A_2}(x), \, \ldots, \, \varphi_{A_k}(x) \,).
\]
この事実より,
\begin{align}
&(x-\alpha)^{l_1}, \, \ldots, \, (x-\alpha)^{l_r}, \\[0.5em]
&(x-\beta)^{m_1}, \, \ldots, \, (x-\beta)^{m_s}, \\[0.5em]
&\cdots \\[0.5em]
&(x-\gamma)^{n_1}, \, \ldots, \, (x-\gamma)^{n_t}
\end{align}
の最小公倍多項式が \( J \) の最小多項式. これは,
\[
(x-\alpha)^{l_r}, \, (x-\beta)^{m_s}, \, \ldots, \, (x-\gamma)^{n_t}
\]
の最小公倍多項式なので,
\[
\varphi_J(x) = (x-\alpha)^{l_r} (x-\beta)^{m_s} \cdots (x-\gamma)^{n_t}.
\]
めでたし, めでたし.
要点の証明：
\[
f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n \in \mathbb{C}[x]
\]
に行列 \( A \) を代入すると,
\begin{align}
f(A) &= a_0
\begin{pmatrix}
A_1^n & & & \\
& A_2^n & & \\
& & \ddots & \\
& & & A_k^n
\end{pmatrix}
+
a_1
\begin{pmatrix}
A_1^{n-1} & & & \\
& A_2^{n-1} & & \\
& & \ddots & \\
& & & A_k^{n-1}
\end{pmatrix}
+ \cdots + a_n
\begin{pmatrix}
A_1^{0} & & & \\
& A_2^{0} & & \\
& & \ddots & \\
& & & A_k^{0}
\end{pmatrix} \\[0.5em]
&=
\begin{pmatrix}
f(A_1) & & & \\
& f(A_2) & & \\
& & \ddots & \\
& & & f(A_k)
\end{pmatrix}.
\end{align}
したがって,
\begin{align}
f(A) = 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad f(A_i) = 0 \quad \forall i \\[0.5em]
&\Longleftrightarrow \quad \varphi_{A_i}(x) \mid f(x) \quad \forall i \\[0.5em]
&\Longleftrightarrow \quad \lcm \varphi_{A_i}(x) \mid f(x) .
\end{align}
\( \lcm \) は最小公倍多項式です. モニックなものをとるとします.
各ブロックの最小多項式が分かれば, もとの行列の最小多項式も分かるわけです.
（多項式 \( g(x) \) と行列 \( B \) に対して, 「\( g(B) = 0 \Longleftrightarrow \varphi_B(x) \mid g(x) \)」 を使いました.）
行列 \( A \) の最小多項式は,
\[ \lcm \varphi_{A_i}(x) \] と分かりました.