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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

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ジョルダン標準形の最小多項式

雑記
ジョルダン細胞 \begin{align} &J_{l_1}(\alpha), \, \ldots, \, J_{l_r}(\alpha), \\[0.5em] &J_{m_1}(\beta), \, \ldots, \, J_{m_s}(\beta), \\[0.5em] &\cdots \\[0.5em] &J_{n_1}(\gamma), \, \ldots, \, J_{n_t}(\gamma) \end{align} を対角に並べたジョルダン標準形 \( J \) の最小多項式 \( \varphi_J(x) \) を求めます. (行列 \( A \) の最小多項式を \( \varphi_A(x) \) と書くことにします.) ここで, \[ \alpha, \, \beta, \, \ldots, \, \gamma \in \mathbb{C} \] で, \begin{align} &l_1 \le \cdots \le l_r, \\[0.5em] &m_1 \le \cdots \le m_s, \\[0.5em] &\cdots \\[0.5em] &n_1 \le \cdots \le n_t. \end{align} (ジョルダン細胞 \( J_k(\alpha) \) の定義はこちら: ジョルダン標準形の計算方法
要点は次の事実: \[ A = \begin{pmatrix} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k \end{pmatrix}, \quad \text{\( A_i \) は正方行列} \] のとき, \[ \DeclareMathOperator{\lcm}{lcm} \varphi_A(x) = \lcm(\, \varphi_{A_1}(x), \, \varphi_{A_2}(x), \, \ldots, \, \varphi_{A_k}(x) \,). \]

\( \lcm \) は最小公倍多項式です. モニックなものをとるとします.

各ブロックの最小多項式が分かれば, もとの行列の最小多項式も分かるわけです.

この事実より, \begin{align} &(x-\alpha)^{l_1}, \, \ldots, \, (x-\alpha)^{l_r}, \\[0.5em] &(x-\beta)^{m_1}, \, \ldots, \, (x-\beta)^{m_s}, \\[0.5em] &\cdots \\[0.5em] &(x-\gamma)^{n_1}, \, \ldots, \, (x-\gamma)^{n_t} \end{align} の最小公倍多項式が \( J \) の最小多項式. これは, \[ (x-\alpha)^{l_r}, \, (x-\beta)^{m_s}, \, \ldots, \, (x-\gamma)^{n_t} \] の最小公倍多項式なので, \[ \varphi_J(x) = (x-\alpha)^{l_r} (x-\beta)^{m_s} \cdots (x-\gamma)^{n_t}. \] めでたし, めでたし.
要点の証明: \[ f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n \in \mathbb{C}[x] \] に行列 \( A \) を代入すると, \begin{align} f(A) &= a_0 \begin{pmatrix} A_1^n & & & \\ & A_2^n & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k^n \end{pmatrix} + a_1 \begin{pmatrix} A_1^{n-1} & & & \\ & A_2^{n-1} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k^{n-1} \end{pmatrix} + \cdots + a_n \begin{pmatrix} A_1^{0} & & & \\ & A_2^{0} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k^{0} \end{pmatrix} \\[0.5em] &= \begin{pmatrix} f(A_1) & & & \\ & f(A_2) & & \\ & & \ddots & \\ & & & f(A_k) \end{pmatrix}. \end{align} したがって, \begin{align} f(A) = 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad f(A_i) = 0 \quad \forall i \\[0.5em] &\Longleftrightarrow \quad \varphi_{A_i}(x) \mid f(x) \quad \forall i \\[0.5em] &\Longleftrightarrow \quad \lcm \varphi_{A_i}(x) \mid f(x) . \end{align}

多項式 \( g(x) \) と行列 \( B \) に対して, 「\( g(B) = 0 \Longleftrightarrow \varphi_B(x) \mid g(x) \)」 を使いました.)

行列 \( A \) の最小多項式は,

\[ \lcm \varphi_{A_i}(x) \] と分かりました.
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