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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習13

\( m < 0 \) とし, \( m \) は平方因子をもたないとする.

1. \( m \not\equiv 1 \pmod{4} \) のとき.

\( \alpha \in \mathbb{A} \cap \mathbb{Q}[\sqrt{m}] \)とし,

\[ \alpha = a + b \sqrt{m}, \quad a, b \in \mathbb{Z} \]

と書く. このとき,

\begin{align} \alpha \, \text{が単数} &\Longleftrightarrow N(\alpha) = 1 \\[0.5em] &\Longleftrightarrow a^2 + |m| \, b^2 = 1. \tag{#} \end{align}

\( m = -1 \) ならば, (#) をみたす \( a \), \( b\) は,

\[ (a, b) = (\pm 1, 0), (0, \pm 1). \]

したがって, 単数は,

\[ \alpha = \pm 1, \pm \sqrt{-1}. \]

\( m \neq -1 \) ならば, \( |m| \ge 2 \) であり, (#) をみたす \( a \), \( b\) は,

\[ (a, b) = (\pm 1, 0). \]

したがって, 単数は,

\[ \alpha = \pm 1. \]

2. \( m \equiv 1 \pmod{4} \) のとき.

\( \alpha \in \mathbb{A} \cap \mathbb{Q}[\sqrt{m}] \)とし,

\[ \alpha = \frac{a + b \sqrt{m}}{2}, \quad a, b \in \mathbb{Z}, \quad a \equiv b \pmod{2} \]

と書く. このとき,

\begin{align} \alpha \, \text{が単数} &\Longleftrightarrow N(\alpha) = 1 \\[0.5em] &\Longleftrightarrow a^2 + |m| \, b^2 = 4. \tag{##} \end{align}

\( m = -3 \) ならば, (##) をみたす \( a \), \( b\) は,

\[ (a, b) = (\pm 2, 0), (\pm 1, \pm 1). \]

したがって, 単数は,

\[ \alpha = \pm 1, \frac{\pm 1 \pm \sqrt{-3}}{2}. \]

\( m \neq -3 \) ならば, \( |m| \ge 5 \) であり, (##) をみたす \( a \), \( b\) は,

\[ (a, b) = (\pm 1, 0). \]

したがって, 単数は,

\[ \alpha = \pm 1. \quad \Box \]