レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習12

(a) 複素共役は可換群 \( \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} \Gal(\mathbb{Q}[\omega] / \mathbb{Q}) \) の元であるので, 任意の \( \sigma \in \Gal(\mathbb{Q}[\omega] / \mathbb{Q}) \) に対して,

\[ \sigma(\overline{\alpha}) = \overline{\sigma(\alpha)}, \quad \forall \alpha \in \mathbb{Q}[\omega]. \]

したがって,

\[ \sigma \left( \frac{u}{\overline{u}} \right) = \frac{\sigma(u)}{\sigma(\overline{u})} = \frac{\sigma(u)}{\overline{\sigma(u)}}. \]

よって,

\[ \left| \sigma \left( \frac{u}{\overline{u}} \right) \right| = 1. \]

練習 11(c) より, \( u \, / \, \overline{u} \) は 1 の冪根である. 系 3 より, \( u \, / \, \overline{u} \) は 1 の 2p 乗根. したがって, ある k に対して,

\[ \frac{u}{\overline{u}} = \pm \, \omega^k. \quad \Box \]

(b) \( u \, / \, \overline{u} = - \omega^k \) と仮定する. このとき,

\[ u = - \omega^k \overline{u}. \]

両辺を p 乗すると,

\[ u^p = - \overline{u^p}. \]

第 1 章の練習 25 より, ある \( a \in \mathbb{Z} \) が存在して,

\[ u^p \equiv a \pmod{p}. \]

第 1 章の練習 23 を使うと,

\[ \overline{u^p} \equiv a \pmod{p}. \]

したがって,

\[ 2a \equiv 0 \pmod{p} \]

である.

\[ 2a = p (c_0 + c_1 \omega + \cdots + c_{p-2} \omega^{p-2}), \quad \exists c_i \in \mathbb{Z} \]

より,

\[ 2a = p c_0. \]

よって, \( \mathbb{Z} \) において,

\[ p \mid a. \]

これより,

\[ u^p \equiv a \equiv 0 \pmod{p}. \]

\( u^p \) は単数であるから, \( p \) も単数ということになるが, これは矛盾である. \( \Box \)

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