レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習11

(a)

\begin{align} f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = (x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_n) \end{align} であるとする. このとき, \[ a_r = (-1)^{n-r} \sum_{1 \le k_1 < k_2 < \cdots < k_{n-r} \le n} \alpha_{k_1} \alpha_{k_2} \cdots \alpha_{k_{n-r}}. \] 仮定より, \[ | \alpha_i| \le 1, \quad 1 \le i \le n \] であるので, \begin{align} | a_r | &\le \sum_{1 \le k_1 < k_2 < \cdots < k_{n-r} \le n} |\alpha_{k_1}| \, |\alpha_{k_2}| \, \cdots \, |\alpha_{k_{n-r}}| \\[0.5em] &\le \sum_{1 \le k_1 < k_2 < \cdots < k_{n-r} \le n} 1 \\[0.5em] &= \binom{n}{n-r} \\[0.5em] &= \binom{n}{r}. \quad \Box \end{align}

(b)

\[ P_n = \left\{ x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 \in \mathbb{Z}[x] \, \bigm| \, |a_r| \le \binom{n}{r}, 1 \le r \le n \right\} \] とおき, \[ A_n = \left\{ \alpha \in \mathbb{C} \, \bigm| \, \exists f(x) \in P_n, \, f(\alpha) = 0 \right\} \] とおく. \( \alpha \) を次数 \( n \) で, そのすべての共役の絶対値が \( 1 \) であるような代数的整数とすると, その最小多項式 \[ f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \in \mathbb{Z}[x] \] は, \[ | a_r | \le \binom{n}{r}, \quad 1 \le r \le n \] をみたす. したがって, \( f(x) \in P_n \) であり, \( \alpha \in A_n \) である. このような \( \alpha \) の集合は \( A_n \) の部分集合ということになる. \( A_n \) は有限集合であるので, このような \( \alpha \) は有限個である. \( \Box \)

(c) \( \alpha \) を代数的整数とし, そのすべての共役が絶対値 \( 1 \) をもつとする. \( \alpha \) の次数を \( n \) とする. \( k \ge 1 \) に対して,

\[ \alpha^k \in \mathbb{Q}[\alpha] \] であるので, \( \alpha^k \) の次数は \( n \) 以下である. また, \( \alpha^k \) の共役の絶対値はすべて \( 1 \) である (\( \alpha^k \) の共役は, ある埋め込み \( \sigma \colon \mathbb{Q}[\alpha] \to \mathbb{C} \) に対して, \( \sigma(\alpha^k) = \sigma(\alpha)^k \) とかける). (b) より, \[ \{ \alpha, \, \alpha^2, \, \alpha^3, \, \cdots, \, \alpha^k, \, \cdots \} \] は有限集合であるので, ある \( l < m \) に対して, \[ \alpha^l = \alpha^m. \] したがって, \[ 1 = \alpha^{m-l}. \] よって, \( \alpha \) は 1 の冪根である. \( \Box \)
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