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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

行列の最小多項式

1. 最小多項式

体 \( K \) 上の \( n \times n \) 行列 \( A \) を考えます.

体 \( K \) 上の \( n \times n \) 行列全体は \( n^2 \) 次元の \( K \) ベクトル空間なので, \( n^2 + 1 \) 個の行列

\[ I, \, A, \, A^2, \, \ldots, \, A^{n^2} \]

は一次従属です.

したがって,

\[ f(A) = 0 \]

をみたす, \( K \) 上のモニックな多項式 \( f(x) \) が存在します. (モニックとは, 最高次の係数が 1 であること.)

そのようなもののうち, 次数が最小であるものを, 行列 \( A \) の最小多項式といいます.

2. 一意性

\( p(x) \) と \( q(x) \) を行列 \( A \) の最小多項式とします.

\[ f(x) := p(x) - q(x) \]

とおきます. このとき,

  • \( f(A) = 0 \),
  • \( \deg f < \deg p \). (これは, \( \deg p = \deg q \) から従う.)

\( f(x) \neq 0 \) とすると, \( p(x) \) が最小多項式であることに反するので,

\[ f(x) = 0. \]

めでたく,

\[ p(x) = q(x) \] が示されました.
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