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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

ジョルダン標準形の計算方法

\( n \times n \) 複素行列 \( A \) のジョルダン標準形を求めます.

1. まず,

\[ x I_n - A = \begin{pmatrix} x - a_{11} & - a_{12} & \cdots & - a_{1n} \\ - a_{21} & x - a_{22} & \cdots & - a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ - a_{n1} & - a_{n2} & \cdots & x - a_{nn} \end{pmatrix} \]

という行列を作ります. \( I_n \) は \( n \) 次の単位行列です.

2. 行および列の基本変形を繰り返しほどこし, 対角行列にまでもっていきます(必ず可能です):

\[ x I_n - A \,\, \longrightarrow \,\, \begin{pmatrix} f_1(x) & & \\ & \ddots & \\ & & f_n(x) \end{pmatrix}. \]

\( f_i(x) \) は \( x \) の多項式です. (注. 多項式環 \( \mathbb{C}[x] \) 上の行列に対する基本変形です.)

3. 多項式 \( f(x) \) が与えられたとき,

\[ f(x) = a (x - \alpha_1)^{k_1} (x - \alpha_2)^{k_2} \cdots (x - \alpha_r)^{k_r} \] \[ \downarrow \] \[ J_{k_1}(\alpha_1), \,\, J_{k_2}(\alpha_2), \,\, \ldots, \,\, J_{k_r}(\alpha_r). \]

として, ジョルダン細胞を取り出します. ここで,

\[ J_k(\alpha) := \begin{pmatrix} \alpha & 1 & & & \\ & \alpha & 1 & & \\ & & \alpha & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & \alpha \end{pmatrix} \quad (k \times k \,\, \text{行列}). \]

\( f(x) \) が定数のときは, 何も取り出さないことにします.

4. \( f_1(x) \) からジョルダン細胞をとりだし, \( f_2(x) \) からジョルダン細胞をとりだし, \( \ldots \), \( f_n(x) \) からジョルダン細胞をとりだし, 並べます:

\[ B_1,\,\, B_2, \,\, \ldots, \,\, B_s. \]

5. これらを対角線上に並べたものが, 行列 \( A \) のジョルダン標準形です:

\[ \begin{pmatrix} B_1 & & & \\ & B_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & B_s \end{pmatrix}. \]

簡単だ! おわり.

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