ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

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単因子の一意性

行列式をうまく使うもんだなあ, と思ったのでまとめておきます. 行列の成分は整数です. 要点は次の 2 点:

  1. \( p \) 次小行列式全体の最大公約数は, 行および列の基本変形で不変である.
  2. 行列 \[ \begin{pmatrix} e_1 & & & & \quad \\ & e_2 & & & \quad \\ & & \ddots & & \quad \\ & & & e_r & \quad \\ & & & & \quad \end{pmatrix} ,\quad 0 < e_1 \mid e_2 \mid \cdots \mid e_r, \] の \( p \) 次小行列式全体の最大公約数は, \( 1 \le p \le r \) のとき \( e_1 e_2 \cdots e_p \). \( p > r \) のとき 0.

注意. ここでは, \( a \), \( b \), \( \ldots \), \( c \) の最大公約数を \[ (a, b, \ldots, c) = (d) \] をみたす非負の整数 \( d \) として定義します.

基本変形の繰り返しで

\[ \begin{pmatrix} e_1 & & & & \quad \\ & e_2 & & & \quad \\ & & \ddots & & \quad \\ & & & e_r & \quad \\ & & & & \quad \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} f_1 & & & & \quad \\ & f_2 & & & \quad \\ & & \ddots & & \quad \\ & & & f_s & \quad \\ & & & & \quad \end{pmatrix} \] (\( e_i \), \( f_j \) は正で, \( e_i \mid e_{i+1} \), \( f_j \mid f_{j+1} \))となったとします. \( r < s \) とすると, \[ 0 = f_1 f_2 \cdots f_{r+1} \] となり矛盾です(\(r+1\) 次小行列式全体の最大公約数を考える). \( r > s \) としても同様なので, \( r = s \) が従います. \begin{align} e_1 &= f_1, \\ e_1 e_2 &= f_1 f_2, \\ e_1 e_2 e_3 &= f_1 f_2 f_3, \\ &\cdots \\ e_1 e_2 \cdots e_r &= f_1 f_2 \cdots f_r \end{align} なので, \[ e_i = f_i \quad ( 1 \le i \le r ). \] これで単因子の一意性が示されました.

1 の証明について

以下, 行列 \(A\), \(A'\) の \(p\) 次小行列式全体の最大公約数を \(d\), \(d'\) と書く.

列の入れ換え \(A \rightarrow A'\) で不変であること. より一般に, 列の任意の並び替えを考える. このとき, \( A' \) の小行列式は, 列を並び替えると \( A \) の小行列式になるわけだから, その \( A \) の小行列式とは符号が異なるだけである. したがって, \( A' \) の \( p \) 次小行列式はすべて \(d\) の倍数であり, \( (d') \subset (d) \) である. 列を並び替えて \( A' \to A \) とできるので \( (d) \subset (d') \) も言える. よって, \( d = d' \).

ある列の -1 倍で不変であること. 上と同じようにやればよい.

ある列の整数倍をある列に足す操作で不変であること. 上と同じようにやればよい.

行に関しても全く同様である.

2 の証明について

\[ \begin{pmatrix} e_1 & & & & \quad \\ & e_2 & & & \quad \\ & & \ddots & & \quad \\ & & & e_r & \quad \\ & & & & \quad \end{pmatrix} ,\quad 0 < e_1 \mid e_2 \mid \cdots \mid e_r. \]

\( p > r \) のとき, この行列の \( p \) 次小行列式は, ある列が零ベクトルとなるので 0 である. したがって, これらすべての最大公約数も 0 である.

\( p \le r \) とし, \( p \) 次小行列式を考える. ある列が零ベクトルであれば, その値は 0 である. どの列も零ベクトルではないとする. 小行列式の列ベクトルを左から取り出し並べたものが

\[ \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ e_{k_1} \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ e_{k_2} \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} , \quad \ldots, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ e_{k_p} \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \] であるとする. それぞれ 0 でない成分が \( i_1 \) 行目, \( i_2 \) 行目, \( \ldots \), \( i_p \) 行目にあるとする. このとき, \[ 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_p \le p \] であるので, \[ i_1 = 1, \quad i_2 = 2, \quad \ldots, \quad i_p = p. \] これよりこの小行列式の値は \[ e_{k_1} e_{k_2} \cdots e_{k_p} \] である. \[ e_{1} e_{2} \cdots e_{p} \mid e_{k_1} e_{k_2} \cdots e_{k_p} \] であるので, \( p \) 次小行列式全体の最大公約数は \[ e_{1} e_{2} \cdots e_{p} \] である. 疲れた. おわり.

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