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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

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代数体の合成体に関するメモ

雑記
\( K \) と \( L \) を代数体(\( \mathbb{Q} \) 上有限次である \( \mathbb{C} \) の部分体)とする. \( K \) と \( L \) の \( \mathbb{Q} \) 上の基底をそれぞれ \begin{align} &(\delta_1, \ldots, \delta_m), \\ &(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n) \end{align} とする. \[ R = \{ \alpha_1 \beta_1 + \cdots + \alpha_r \beta_r \mid \alpha_i \in K, \, \beta_i \in L \} \] とおく. \( R \) は \( \mathbb{C} \) の部分環であり, \( \mathbb{Q} \) 上のベクトル空間とみると, \[ (\delta_i \varepsilon_j)_{1 \le i \le m, \, 1 \le j \le n} \] で生成されるので, \( \mathbb{Q} \) 上有限次元である. 下の補題により, \( R \) は体である. したがって, \[ R = KL \quad \]

(\( KL \) は \( K \) と \( L \) の合成体, すなわち, \( K \) と \( L \) を含む最小の体)である.

補題:\( R \) を整域とし, \( F \) をその部分体とする. \( R \) が \( F \) 上のベクトル空間として有限次元ならば, \( R \) は体である.

証明:\( 0 \neq a \in R\) とする. 線形写像 \[ f_{a} \, \colon \, R \longrightarrow R, \quad x \longmapsto ax \] は単射であるから, 全射でもある. 証明終.

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