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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

単因子の計算例

前々回扱った行列 \[ \begin{pmatrix} 5 & 8 & 8 & -5 \\ 2 & 5 & 1 & -7 \\ 1 & 1 & 5 & 4 \end{pmatrix} \]

の単因子を計算してみます. どのような基本変形を行ったかは見て明らかだと思いますので, その詳しい説明は省略します.

前回述べたように, 「(1, 1) 成分の絶対値が小さくなる」ように変形していくだけです.

\[ \begin{pmatrix} 5 & 8 & 8 & -5 \\ 2 & 5 & 1 & -7 \\ 1 & 1 & 5 & 4 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 4 \\ 2 & 5 & 1 & -7 \\ 5 & 8 & 8 & -5 \end{pmatrix} \]

(1, 1) 成分が 1 となりました. 他の成分はもちろん 1 の倍数なので, (1, 1) 成分の絶対値を小さくする作業はここで終わりです.

\[ \cdots \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -9 & -15 \\ 5 & 3 & -17 & -25 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -9 & -15 \\ 0 & 3 & -17 & -25 \end{pmatrix} \]

0 を増やしました. 次は, 内側の行列に対して「(1, 1) 成分の絶対値を小さくする」作業を行います. つまり, (2, 2) 成分の絶対値を小さくしていきます.

\begin{align} \cdots &\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -9 & -15 \\ 0 & -3 & 1 & 5 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & -9 & -15 \end{pmatrix} \\[1em] &\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 5 \\ 0 & -9 & 3 & -15 \end{pmatrix} \end{align}

(2, 2) 成分が 1 となりましたので, (2, 2) 成分の絶対値を小さくする作業はこれで終わりです.

\[ \cdots \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -9 & -24 & 30 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -24 & 30 \end{pmatrix} \]

0 を増やしました. 次は, (3, 3) 成分の絶対値を小さくしていきます.

\[ \cdots \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -24 & 6 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & -24 \end{pmatrix} \]

左上が (3, 3) 成分である行列のすべての要素(といっても検証すべきものは -24 しかありませんが)が 6 の倍数になりましたので, (3, 3) 成分の絶対値を小さくする作業はこれで終わりです.

\[ \cdots \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]

望む形になりました. 単因子は

\[ (1, 1, 6) \]

です.

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