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複素整数と有限体の世界(35)ー第 IV 部 素数の分解法則ー仮説 A'' の検証(1)

仮説 A'' とは, 以下の主張のことでした:

(仮説 A'') 有理奇素数 \( p \) に対して, \begin{align} &X^{2} = [-1] \,\,\, \text{をみたす} \,\,\, X \in \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \,\,\, \text{が存在する} \\[0.5em] &\Longleftrightarrow \,\,\, p \equiv 1 \!\!\! \pmod{4}. \end{align}

今回の記事を通して, \( p \) は有理奇素数であると仮定します.

\[ \left(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right)^{\times} := \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} - \bigl\{ [0] \bigr\} \] と置き(一般に可換環 \( R \) の可逆元全体を \( R^{\times} \) で表します), \( (\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})^{\times} \) の元を2乗する写像 \[ f \, \colon \, \left(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right)^{\times} \longrightarrow \left(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right)^{\times}, \quad X \longmapsto X^2 \] を考えます(\( [0] \) でない元の2乗は \( [0] \) ではありません). \[ \DeclareMathOperator{\im}{Im} \im \, f := \left\{ \, f(X) \, \bigm| \, X \in \left(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right)^{\times} \, \right\} \] と置きます(写像に関する一般的な記法で, \( f \) の ”像” と呼びます). このとき, \begin{align} &X^2 = [-1] \,\, \text{となる} \,\, X \in \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \,\, \text{が存在する} \\[0.5em] \Longleftrightarrow \, &X^2 = [-1] \,\, \text{となる} \,\, X \in \left(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right)^{\times} \,\, \text{が存在する} \\[0.5em] \Longleftrightarrow \, &[-1] \in \im \, f \end{align} となっています.

今度は, \( (\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})^{\times} \) の元を \( (p-1) / 2 \) 乗する写像 \[ g \, \colon \, \left(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right)^{\times} \longrightarrow \left(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right)^{\times}, \quad X \longmapsto X^{\frac{p-1}{2}} \] を考えます. フェルマーの小定理より, 写像 \( f \) と \( g \) の合成 \[ \begin{array}{ccccl} \left(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right)^{\times} & \xrightarrow{f} & \left(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right)^{\times} & \xrightarrow{g} & \left(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right)^{\times} \\ X & \longmapsto & X^2 & \longmapsto & \left( X^2 \right)^{\frac{p-1}{2}} = X^{p - 1} \end{array} \] は常に一定値 \( [1] \) をとります. したがって, \( Y \in (\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})^{\times} \) に対して, \[ g^{-1}(Y) := \left\{ \, X \in \left(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right)^{\times} \, \bigm| \, g(X) = Y \, \right\} \] と置くとき(写像に関する一般的な記法で, \( g \) による \( Y \) の ”逆像” と呼びます), \[ \im \, f \subset g^{-1} \left( \, [1] \, \right) \] が成り立ちます.

説 A'' の証明(1)

\[ [-1] \in \im \, f \] となる条件(これが知りたいことです)を調べるのは難しいですが, \[ [-1] \in g^{-1} ( \, [1] \, ) \] となる条件を調べるのは簡単です: \begin{align} [-1] \in g^{-1} ( \, [1] \, ) \,\, &\Longleftrightarrow \,\, [-1]^{\frac{p-1}{2}} = [1] \\[0.5em] &\Longleftrightarrow \,\, (-1)^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p} \\[0.5em] &\Longleftrightarrow \,\, (-1)^{\frac{p-1}{2}} = 1 \\[0.5em] &\Longleftrightarrow \,\, \frac{p-1}{2} \, \text{が偶数} \\[0.5em] &\Longleftrightarrow \,\, p \equiv 1 \pmod{4}. \end{align} これは仮説 A'' の主張する条件です! ここに至って, 私たちのなすべきことがはっきりと見えてきました. 次回は等式 \[ \im \, f = g^{-1}( \, [1] \, ) \] の証明を試みましょう. これができれば, 仮説 A'' は証明されます.