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複素整数と有限体の世界(28)ー第 IV 部 素数の分解法則ー有限体(2)

今回の記事では, 剰余類の集合 \( \mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \) (\( m \) は正の有理整数)上に加法と乗法, \begin{align} + \, \colon \, &\mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/m \mathbb{Z}, \quad (A,B) \mapsto A + B, \\[1em] \cdot \,\, \colon \, &\mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/m \mathbb{Z}, \quad (A,B) \mapsto A \cdot B, \end{align} を定義します. \( A \cdot B \) は省略して \( AB \) と書くこともあります.

有理整数のときと同じく,

\( A+B \) \( A \) と \( B \) の和,
\( AB \) \( A \) と \( B \) の積,
と呼びます.

と積の定義案

さて, \[ A, \, B \in \mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \] の和と積をどのように定義したらよいでしょうか? このままでは何も思い付きませんので, そもそも \( A \), \( B \) とは何であったかを思い出してみます. これらは, 法 \( m \) に関する剰余類でした. すなわち, ある有理整数 \( a \), \( b \) に対して, \[ A = [a], \quad B = [b]. \] この表記を見ると, 1つの案が浮かびます. 有理整数の間には和と積が定義されているので, それを利用して, \begin{align} A + B := &[a + b], \\[0.5em] AB := &[a b], \end{align} としたらどうでしょうか? しかし, この案からはすぐに次の疑問が生じます:

他の有理整数 \( a' \), \( b' \) に対して \[ A = [a'], \quad B = [b'] \] であるとき, \[ \begin{array}{c} [a + b] = [a' + b'], \\[0.5em] [a b] = [a' b'] \end{array} \tag{*} \] となるだろうか?

これが成り立たないと, \( A + B \) と \( AB \) の値が1つに定まらないので, 和と積が定義されたことにはなりません.

と積は定義されているか?

実際には, 上の等式は成り立っており, 私たちの案は定義として機能します. それを見るために, 以下のことを示しましょう: \begin{align} &(1) \quad a + b \equiv a' + b' \pmod{m},\\[0.5em] &(2) \quad a b \equiv a' b' \pmod{m}. \end{align} 前回注意したように, これは等式を意味します.

  • (0) まず, \begin{align} &a \equiv a' \pmod{m}, \\[0.5em] &b \equiv b' \pmod{m} \end{align} に注意します. これは, \[ [a] = [a'], \quad [b] = [b'] \] から従います.
  • (1) 左辺から右辺を引きます: \[ \left(a + b \right) - \left(a' + b' \right) = \left(a - a' \right) + \left(b - b' \right). \] \( a- a' \) と \( b - b' \) は \( m \) の倍数なので, 右辺は \( m \) の倍数です. したがって, \[ m \, \bigm| \, \left(a+b \right) - \left(a' + b' \right), \] すなわち, \[ a + b \equiv a' + b' \pmod{m}. \]
  • (2) 左辺から右辺を引きます: \[ a b - a' b' = \left(a - a' \right)b + a' \left(b - b' \right). \] \( a- a' \) と \( b - b' \) は \( m \) の倍数なので, 右辺は \( m \) の倍数です. したがって, \[ m \mid ab - a' b', \] すなわち, \[ a b \equiv a' b' \pmod{m}. \] (証明終)

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