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複素整数と有限体の世界(26)ー第 III 部 素因数分解の一意性ー割り算の余り(3)

次の命題の証明について考えています:
複素整数 \( \alpha \) と複素整数 \( \beta \neq 0 \) に対して, \[ \alpha = \kappa \, \beta + \rho, \quad N \left(\rho \right) < N \left(\beta \right) \] となる複素整数 \( \kappa \), \( \rho \) が存在する.
前回, この命題を特殊な場合に帰着させました:
複素整数 \( \alpha \) と有理整数 \( N > 0 \) に対して, \[ \alpha = \kappa \, N + \rho, \quad N \left(\rho \right) < N^2 \] となる複素整数 \( \kappa \), \( \rho \) が存在する.
殊な場合の証明
\( \alpha \) \( 0 \) \( N \) \( N \) \( (q_1 N, q_2 N) \)

\( \alpha = x + i \, y \) とし, \( x \), \( y \) をそれぞれ \( N \) で割ります: \begin{align} x &= q_1 N + r_1, \quad \left| r_1 \right| \le \frac{N}{2},\\[1em] y &= q_2 N + r_2, \quad \left| r_2 \right| \le \frac{N}{2}. \end{align}

(整数だけで話をしたいなら, \[ \left| 2 r_1 \right| \le N, \quad \left| 2 r_2 \right| \le N \] とします. 例えば, 最初の式は,

  1. 割り算の余りに関する定理より, \[ x = q_1 N + r_1, \quad 0 \le r_1 < N . \]
  2. \( 0 \le 2 r_1 < 2N \) より, \[ 0 \le 2 r_1 < N \quad \text{または} \quad N \le 2 r_1 < 2N. \]
  3. \( 0 \le 2 r_1 < N \) ならば, \[ x = q_1 N + r_1, \quad 0 \le 2 r_1 < N. \]
  4. \( N \le 2 r_1 < 2N \) ならば, \[ x = \bigl(q_1 + 1 \bigr) N + \bigl(r_1 - N \bigr), \quad -N \le 2 \bigl(r_1 - N \bigr) < 0. \]
として導かれます.)

このとき, \[ \alpha = \bigl( q_1 + i \, q_2 \bigr) N + \bigl( r_1 + i \, r_2 \bigr) \] であり, \[ N \bigl(r_1 + i \, r_2 \bigr) = r_1^2 + r_2^2 \le \frac{N^2}{4} + \frac{N^2}{4} = \frac{N^2}{2} < N^2. \]

(整数のみを用いる場合, \[ 4 \, N \bigl(r_1 + i \, r_2 \bigr) = 4 \bigl(r_1^2 + r_2^2 \bigr) = \bigl(2 r_1 \bigr)^2 + \bigl(2 r_2 \bigr)^2 \le 2 N^2 < 4 N^2 \] とする.)

以上で示されました. (証明終)

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