レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

複素整数と有限体の世界(20)ー第 II 部 基本概念ーすべての複素素数

(仮説 A) 奇素数 \( p \) に対して, \[ x^{2} + y^{2} = p \,\, \text{が整数解をもつ} \,\, \Longleftrightarrow \,\, p \equiv 1 \! \pmod{4}. \]

仮説 A を仮定すると, \[ p \equiv 1 \pmod{4} \] である有理素数 \( p \) は, \[ p = \pi_p \, \overline{\pi_p}, \quad \pi_p \, \text{は複素整数} \] というふうに, 2 つの複素整数の積へと分解されます. (このような \( \pi_p \) は複数ありますが, 以下のために, 1 つを選んで固定しておきます.)

有理素数 2 も複素整数の積へと分解され, 例えば, \begin{gather} 2 = \left(1 + i \right) \, \left(1 - i \right) = -i \, \left(1 + i \right)^2 \\[0.5em] \bigl(\, \because \,\, 1 - i = -i \, \left(1 + i \right) \, \bigr) \end{gather} のように書くことができます.

れまでに得た複素素数
以前示したように,
  1. \( \,\,\, 1 + i \),
  2. \( \,\,\, \pi_p \), \( \,\, \overline{\pi_p} \quad \left( \, p \equiv 1 \pmod{4} \, \right) \),
  3. \( \,\,\, q \quad \left( \, q \equiv 3 \pmod{4} \, \right) \),
は複素素数です.
べての複素素数
上記の複素素数に関して,
  • (X) これらは互いに同伴でない.
  • (Y) 複素素数はすべて, これらのどれかに同伴である.
が成り立ちます. (X)は今までの議論で既に示されており, (Y)は仮説 B'' を仮定すれば示されます.
(仮説 B'') \( \alpha \), \( \beta \) を複素整数とし, \( \pi \) を複素素数とする. このとき, \[ \pi \mid \alpha \, \beta \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \pi \mid \alpha \,\,\, \text{または} \,\,\, \pi \mid \beta. \]
(Y)の証明
\( \pi \) を複素素数とし, \( N(\pi) \) を有理整数の範囲で素因数分解したものを \[ N( \pi ) = p_1 \, p_2 \, \cdots \, p_r \] とします. \[ \pi \mid N( \pi ) \] なので, 仮説 B'' により, \[ \pi \mid p_h \quad \left( \, \exists \, h \, \right) \] が成り立ちます.
  • \( \diamondsuit \quad p_h = 2 \,\, \Longrightarrow \,\, \pi \sim 1 + i \),
  • \( \diamondsuit \quad p_h \equiv 1 \pmod{4} \,\, \Longrightarrow \,\, \pi \sim \pi_{p_h} \, \) または \( \, \pi \sim \overline{\pi_{p_h}} \),
  • \( \diamondsuit \quad p_h \equiv 3 \pmod{4} \,\, \Longrightarrow \,\, \pi \sim p_h \),
なので, 主張は示されました. (証明終)
複素 有理 \( 1 + \, i \) \( 3 \) \( 1 + \, 2i \) \( 1 - \, 2i \) \( 7 \) \( 11 \) \( 2 + \, 3i \) \( 2 - \, 3i \) \( 2 \) \( 3 \) \( 5 \) \( 7 \) \( 11 \) \( 13 \)