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複素整数と有限体の世界(19)ー第 II 部 基本概念ー仮説 C の検証(2)

前回の続きです. 仮説 B'' から仮説 C を導きます.

説 B'' から仮説 C を導く
整数の組 \( (x,y) \) が方程式をみたすとします. このとき, 前回述べた仮説 B'' の拡張により, \[ x + i \, y = \varepsilon \, \left( \pi_1^{a_1} \, \overline{\pi_1}^{\, b_1} \right) \, \cdots \, \left( \pi_r^{a_r} \, \overline{\pi_r}^{\, b_r} \right) \, . \tag{☆☆} \] ここで, 指数 \( a_h \), \( b_h \) は \[ 0 \le a_h \le l_h, \quad 0 \le b_h \le l_h \] をみたすある整数で, \( \varepsilon \) は単数です. の両辺の共役をとると, \[ x - i \, y = \overline{\varepsilon} \, \left( \pi_1^{b_1} \, \overline{\pi_1}^{\, a_1} \right) \, \cdots \, \left( \pi_r^{b_r} \, \overline{\pi_r}^{\, a_r} \right) \, . \] この式の右辺との右辺をかけたものはの右辺に等しいので, \[ \left( \pi_1 \, \overline{\pi_1} \right)^{\, a_1 + b_1} \cdots \left( \pi_r \, \overline{\pi_r} \right)^{\, a_r + b_r} = \left( \pi_1 \, \overline{\pi_1} \right)^{l_1} \cdots \left( \pi_r \, \overline{\pi_r} \right)^{l_r} \, . \] 書き換えて, \[ p_1^{\, a_1 + b_1} \, \cdots \, p_r^{\, a_r + b_r} = p_1^{\, l_1} \, \cdots \, p_r^{\, l_r} . \] 有理整数に対する素因数分解の一意性を用いると, \[ a_h + b_h = l_h \quad \left(1 \le h \le r \right) \] となりますが, これを用いてを書き換えると, \[ x + i \, y = \varepsilon \, \left( \pi_1^{a_1} \, \overline{\pi_1}^{\, l_1 - a_1} \right) \, \cdots \, \left( \pi_r^{a_r} \, \overline{\pi_r}^{\, l_r - a_r} \right). \] これで, 仮説 C が示されました. (証明終)

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