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複素整数と有限体の世界(18)ー第 II 部 基本概念ー仮説 C の検証(1)

  • 前回, 前々回で示したこと:
    「仮説 B は仮説 B'' から従う.」
  • 今回と次回で述べること:
    「仮説 C も仮説 B'' から従う.」
説 C とは何であったか?
(仮説 C) 方程式の整数解はで与えられるものに限る.
説 B''
仮説 B'' とは, 以下の命題のことでした:
(仮説 B'') \( \alpha \), \( \beta \) を複素整数とし, \( \pi \) を複素素数とする. このとき, \[ \pi \mid \alpha \, \beta \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \pi \mid \alpha \,\,\, \text{または} \,\,\, \pi \mid \beta. \]
説 B'' の拡張
仮説 B'' が成り立てば, それを拡張した以下の命題も成り立ちます:
\( \alpha \), \( \beta \) を複素整数とし, \( \pi_1 \), \( \ldots \), \( \pi_k \) を複素素数とする. このとき, \[ \pi_1 \, \cdots \, \pi_k \mid \alpha \, \beta \] ならば, \[ \left\{ 1, \, \ldots, \, k \right\} = A \cup B, \quad A \cap B = \phi \] をみたす集合 \( A \), \( B \) が存在して, \[ \prod_{h \, \in \, A} \pi_h \Bigm| \alpha \,\,, \qquad \prod_{j \, \in \, B} \pi_j \Bigm| \beta \,\, . \] (空集合 \( \phi \) に対しては, \[ \prod_{h \, \in \, \phi} \pi_h = 1 \] と定義します.)

この命題から, 次のことが従います: \[ \alpha \, \beta = \pi_1 \, \cdots \, \pi_k \] ならば, ある単数 \( \delta \), \( \varepsilon \) が存在して, \[ \alpha = \delta \, \prod_{h \, \in \, A} \pi_h \,\,, \qquad \beta = \varepsilon \, \prod_{j \, \in \, B} \pi_j \,\,. \]

次回, この事実を方程式に適用します.

説 B'' の拡張の証明
証明は \( k \) に関する帰納法で行います. \( k = 1 \) の場合は仮説 B'' そのものです. \( k > 1 \) の場合を考えます. \[ \pi_k \mid \alpha \, \beta \] が成り立っているので, 例えば \( \pi_k \mid \alpha \) として( \( \pi_k \mid \beta \, \) でも同じです), \[ \alpha = \pi_k \, \alpha' \quad \left(\alpha' \text{ は複素整数} \right). \] このとき, 関係式 \[ \pi_1 \, \cdots \, \pi_k \mid \pi_k \, \alpha' \, \beta \] から, 関係式 \[ \pi_1 \, \cdots \, \pi_{k - 1} \mid \alpha' \, \beta \] が導かれます. (\( \pi_1 \cdots \pi_k \Box = \pi_k \alpha' \beta \, \) の両辺を \( \pi_k \) で割りました.) この関係式に帰納法の仮定を適用しましょう: \[ \left\{ 1, \, \ldots, \, k - 1 \right\} = A' \cup B, \quad A' \cap B = \phi \] をみたす集合 \( A' \), \( B \) が存在して, \[ \prod_{h \, \in \, A'} \pi_h \Bigm| \alpha' \,\,, \qquad \prod_{j \, \in \, B} \pi_j \Bigm| \beta \,\, . \] 集合 \( A \) を \[ A := A' \cup \{ k \} \] と定義すると, \[ \left\{ 1, \, \ldots, \, k \right\} = A \cup B, \quad A \cap B = \phi \] かつ \[ \prod_{h \, \in \, A} \pi_h \Bigm| \alpha \,\,, \qquad \prod_{j \, \in \, B} \pi_j \Bigm| \beta \] が成り立ちます. (証明終)

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