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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

不定方程式の整数解と最大公約数と: 足し算と掛け算のパズル(前編)

\[ a \, \quad \, b \, \begin{array}{c} \stackrel{c}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \] と書いてあったら, \[ a \, \quad \, b \, \begin{array}{c} \stackrel{c}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, a + bc \] と数を埋めることにする. これを以下のように連続して行ってみる: \[ 0 \, \quad \, 1 \, \begin{array}{c} \stackrel{2}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 2 \, \begin{array}{c} \stackrel{1}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 3 \, \begin{array}{c} \stackrel{3}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 11 \, \begin{array}{c} \stackrel{2}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 25 \, \begin{array}{c} \stackrel{1}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 36. \] 面白いことに, \[ \bigl( 2, \, 1, \, 3, \, 2, \, 1 \bigr) \] を反転させて, \[ \bigl( 1, \, 2, \, 3, \, 1, \, 2 \bigr) \] の順で一連の操作を行っても, 最終的には全く同じ数が得られる: \[ 0 \, \quad \, 1 \, \begin{array}{c} \stackrel{1}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 1 \, \begin{array}{c} \stackrel{2}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 3 \, \begin{array}{c} \stackrel{3}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 10 \, \begin{array}{c} \stackrel{1}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 13 \, \begin{array}{c} \stackrel{2}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 36. \] 何でだろう? 他の数でもやってみる: \begin{align} &0 \, \quad \, 1 \, \begin{array}{c} \stackrel{3}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 3 \, \begin{array}{c} \stackrel{2}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 7 \, \begin{array}{c} \stackrel{1}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 10 \, \begin{array}{c} \stackrel{4}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 47, \\[1em] &0 \, \quad \, 1 \, \begin{array}{c} \stackrel{4}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 4 \, \begin{array}{c} \stackrel{1}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 5 \, \begin{array}{c} \stackrel{2}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 14 \, \begin{array}{c} \stackrel{3}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 47. \end{align}

これは, \( 0 \), \( 1 \) からスタートする限り, いつでも成り立っているようなのです. ちょっと不思議で面白いですね.

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