レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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複素整数と有限体の世界(15)ー第 II 部 基本概念ー素数(4)

複素素数の同伴についてです.

素数の同伴

複素素数の同伴に関して, 以下が成り立ちます:

複素素数 \( \pi_1 \) と \( \pi_2 \) に対して, \[ \pi_1 \mid \pi_2 \, \Longleftrightarrow \, \pi_1 \sim \pi_2. \]

\( \Rightarrow \)) ある複素整数 \( \alpha \) が存在して, \[ \pi_1 \alpha = \pi_2. \] \( \pi_2 \) は複素素数なので, \( \pi_1 \) と \( \alpha \) の少なくとも一方は単数です. \( \pi_1 \) は単数でないので(複素素数は単数ではありません), \( \alpha \) が単数でなければなりません. したがって, \( \pi_1 \) と \( \pi_2 \) は同伴です. (証明終)

\( \Leftarrow \)) 自明です. (証明終)