レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

複素整数と有限体の世界(14)ー第 II 部 基本概念ー素数(3)

前回, 次の命題を述べました:

有理素数 \( p \) がある複素整数 \( \alpha \) に対して, \[ p = \alpha \, \overline{\alpha} \] と書かれるとする. このとき, \( \alpha \) は複素素数である.

素数の分解(3)

上の命題において, \( \alpha \) と \( \overline{\alpha} \) が同伴であるかどうかが分かります. すなわち, それらが本質的に同じ素数であるかどうかが分かります( \( \overline{\alpha} \) も複素素数です).

有理素数 \( p \) がある複素整数 \( \alpha \) に対して, \[ p = \alpha \, \overline{\alpha} \] と書かれるとする. このとき, 以下が成り立つ:
  1. \( p = 2 \) のとき, \( \alpha \) と \( \overline{\alpha} \) は同伴である.
  2. \( p \) が奇素数のとき, \( \alpha \) と \( \overline{\alpha} \) は同伴でない.

以下に証明を述べます.

0. \( \, \alpha = a + i \, b \) を複素整数とします. このとき, \[ \alpha = a + i \, b \quad \text{と} \quad \overline{\alpha} = a - i \, b \] が同伴であることと,

(A) \( \alpha = \overline{\alpha} \) \( \Longleftrightarrow \) \( a + i \, b = a - i \, b \) \( \Longleftrightarrow \) \( b = 0 \),
(B) \( \alpha = -\overline{\alpha} \) \( \Longleftrightarrow \) \( a + i \, b = -a + i \, b \) \( \Longleftrightarrow \) \( a = 0 \),
(C) \( \alpha = i \, \overline{\alpha} \) \( \Longleftrightarrow \) \( a + i \, b = b + i \, a \) \( \Longleftrightarrow \) \( a = b \),
(D) \( \alpha = -i \, \overline{\alpha} \) \( \Longleftrightarrow \) \( a + i \, b = -b - i \, a \) \( \Longleftrightarrow \) \( a = -b \),
のいずれかが成り立つことは同値です.

1. 複素整数 \[ \alpha = a + i \, b \] に対して, \[ 2 = \alpha \, \overline{\alpha} \] であるとします. 方程式 \[ 2 = a^{2} + b^{2} \] を解くと, \[ \left(a, \, b \right) = \bigl(\pm 1, \, \pm 1 \bigr) \] となるので, \( \alpha \) は 4 つの複素整数 \[ \pm 1 \pm i \] のうちのどれかです. どれであるにせよ, 条件(C), (D)のどちらかが満たされるので, \( \alpha \) と \( \overline{\alpha} \) は同伴です. (証明終)

2. \( \, p \) を奇素数とし, 複素整数 \[ \alpha = a + i \, b \] に対して, \[ p = \alpha \, \overline{\alpha} \] であるとします. \( \alpha \) が条件(A)を満たしていれば, \[ p = a^{2} \] となりますが, \( p \) は素数なので, これはあり得ません. \( \alpha \) が条件(B)を満たさないことも同様です. \( \alpha \) はまた, 条件(C),(D)も満たしません. なぜなら, そうと仮定すれば, 等式 \[ p = a^{2} + b^{2} = 2 \, a^{2} \] が 「\( p \) は奇数である」という仮定に矛盾するからです. \( \alpha \) は(A),(B),(C),(D)のどの条件も満たさないわけですが, これは, 「\( \alpha \) と \( \overline{\alpha} \) が同伴でない」ということを意味します. (証明終)