レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

複素整数と有限体の世界(13)ー第 II 部 基本概念ー素数(2)

前回, 次の命題を述べました:

有理素数 \( p \) に対して,
\( p \) が複素素数でない \( \, \Longleftrightarrow \, \) ある複素整数 \( \alpha \) に対して \( p = \alpha \, \overline{\alpha} \).

素数の分解(2)

上の命題において, \( \alpha \) は必ず素数となります:

有理素数 \( p \) がある複素整数 \( \alpha \) に対して, \[ p = \alpha \, \overline{\alpha} \] と書かれるとする. このとき, \( \alpha \) は複素素数である.

以下に証明を述べます.

複素整数 \( \beta \), \( \gamma \) に対して, \[ \alpha = \beta \, \gamma \] であるとします. このとき, \[ p = \beta \, \gamma \cdot \overline{\beta \, \gamma} = N(\beta) \, N(\gamma) \] が成り立ちます. \( p \) は有理素数ですので, \[ N(\beta) = 1 \quad \text{または} \quad N(\gamma) = 1 \] となりますが, これは \( \beta \) および \( \gamma \) のどちらかが単数であることを意味します. 複素素数の定義により, \( \alpha \) は複素素数です. (証明終)