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複素整数と有限体の世界(12)ー第 II 部 基本概念ー素数(1)

最後の基本概念, ”素数” について述べます.

数の定義

有理整数において, 素数とは, 乗法に関してこれ以上分解されない数のことでした. 複素整数においても, ”素数” の概念をこれと同様に定めます:

\( \pi \) を単数でない複素整数とする. 条件
「 \( \pi = \alpha \beta \) (\( \alpha \), \( \beta \) は複素整数) \( \,\, \Longrightarrow \,\, \) \( \alpha \), \( \beta \) のどちらかは単数 」
が成り立つとき, \( \pi \) を ”複素素数” という.

上の条件は,

「 \( \pi \) に本質的な分解は存在しない 」
ということを述べています.

有理整数の世界での素数は, 複素素数と区別して, ”有理素数” と呼ばれます.

素数の分解(1)

複素整数の範囲では, 有理素数はもはや, 素数でないかもしれません. 有理整数の範囲では分解しなくても, より広い複素整数の範囲では, 分解するかもしれないからです.

有理素数が複素素数でもある条件は, 以下の命題により与えられます:

有理素数 \( p \) に対して,

\( p \) が複素素数でない \( \, \Longleftrightarrow \, \) ある複素整数 \( \alpha \) に対して \( p = \alpha \, \overline{\alpha} \).

有理素数 \( p \) に対する命題の主張は, 次のように言い換えることもできます:

「 \( p \) が複素素数でない \( \, \Longleftrightarrow \, \) 方程式 \( x^{2} + y^{2} = p \) が整数解をもつ. 」

以前導入した仮説 A:

(仮説 A) 奇素数  p に対して,

\[ x^{2} + y^{2} = p \,\, \text{が整数解をもつ} \,\, \Longleftrightarrow \,\, p \equiv 1 \! \pmod{4}. \]

によれば,

  • \( \diamondsuit \quad \)\( p = 2 \, \) または \( \, p \equiv 1 \pmod{4} \, \) のとき, \( \, p \) は複素素数でなく,
  • \( \diamondsuit \quad \)\( p \equiv 3 \pmod{4} \, \) のとき, \( \, p \) は複素素数,

が成り立つことになります.

以下に, 上記の命題の証明を述べます.

明 (\( \Leftarrow \))

\( \alpha \) が単数であるとすると, \[ p = \alpha \, \overline{\alpha} = N(\alpha) = 1. \] これは矛盾ですので, \( \alpha \) は単数ではありません. \( \overline{\alpha} \) についても同様です. 単数でないものの積に分解していますので, \( p \) は複素素数ではありません. (証明終)

明 (\( \Rightarrow \))

単数でない複素整数 \( \alpha \), \( \beta \) が存在して, \[ p = \alpha \, \beta \] と書けます. 両辺のノルムをとると, \begin{equation} p^{2} = N(\alpha) \, N(\beta). \tag{*} \end{equation} \( N(\alpha) \neq 1 \), \( N(\beta) \neq 1 \) (\( \alpha \), \( \beta \) は単数ではありません)は \( p^{2} \) の約数ですので, \[ \begin{cases} N(\alpha) = p, \,\, p^{2}, & \\[0.5em] N(\beta) = p, \,\, p^{2}. & \end{cases} \] 4 通りの可能性がありますが, をみたす組み合わせは, \[ \left(N(\alpha), \, N(\beta) \right) = \left(p, \, p \right) \] のみです. \( N(\alpha) = p \) を書き換えると, \[ p = \alpha \, \overline{\alpha} \] となります. (証明終)