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複素整数と有限体の世界(9)ー第 II 部 基本概念ー共役とノルム(2)

前回の続きです.

通因子で割る

ノルムの概念の応用として, 次の基本的な事実が証明されます.

\( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) を複素整数とし, \( \alpha \neq 0 \) とする. このとき, \[ \alpha \, \beta = \alpha \, \gamma \,\, \Longrightarrow \,\, \beta = \gamma. \]

等式 \( \alpha \, \beta = \alpha \, \gamma \) は \[ \alpha \left( \beta - \gamma \right) = 0 \] と変形されます. このことに注意すると, 上の命題は次の命題から導かれます.

\( \alpha \), \( \beta \) を複素整数とする. このとき, \[ \alpha \, \beta = 0 \,\, \Longrightarrow \,\, \alpha = 0 \, \text{ または } \, \beta = 0. \]

両辺のノルムをとります: \[ N(\alpha) \, N(\beta) = 0. \] これより, \[ N(\alpha) = 0 \quad \text{ または } \quad N(\beta) = 0 \] なので, \[ \alpha = 0 \quad \text{ または } \quad \beta = 0 \] が成り立ちます. (証明終)

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