レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習10

\[ r = m \, n \] とする. \( m \) の素因数分解を \[ m = 2^{a_0} \, p_1^{a_1} \, \cdots \, p_s^{a_s} , \quad a_i \ge 1 \] とし, \[ n = 2^{b_0} \, p_1^{b_1} \, \cdots \, p_s^{b_s} \, n' , \quad b_i \ge 0, \,\,\, (m, n') = 1 \] とする. このとき, \[ r = 2^{a_0 + b_0} \, p_1^{a_1 + b_1} \, \cdots \, p_s^{a_s + b_s} n' \] であるので, \begin{align} \varphi(m) &= 2^{a_0 - 1} \, p_1^{a_1 - 1} \, (p_1 - 1) \, \cdots \, p_s^{a_s - 1} \, (p_s - 1), \\[0.5em] \varphi(r) &= 2^{a_0 + b_0 - 1} \, p_1^{a_1 + b_1 - 1} \, (p_1 - 1) \, \cdots \, p_s^{a_s + b_s - 1} \, (p_s - 1) \, \varphi(n') \end{align} である. \( \varphi(r) \le \varphi(m) \) より, \[ 2^{b_0} \, p_1^{b_1} \, \cdots \, p_s^{b_s} \, \varphi(n') \le 1 \] なので, \[ b_i = 0 \quad (0 \le i \le s), \quad \varphi(n') = 1. \] \( n' \) は奇数なので, \( n' = 1 \) である. これより, \( n = 1 \). したがって, \( r = m \) である. \( \Box \)

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