レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習9

\( \theta \) は 1 の原始 \( k \) 乗根なので, \( (h,k) = 1 \) をみたすある \( h \in \mathbb{Z} \) に対して, \[ \theta = e^{\frac{2 \pi i h}{k}} \] と書ける. \( (h,k) = 1 \) なので, \[ ha \equiv 1 \pmod{k} \] をみたす \( a \in \mathbb{Z} \) が存在する. このとき, \[ \theta^a = e^{\frac{2 \pi i ha}{k}} = e^{\frac{2 \pi i}{k}} \] である. \[ r = m'm = k'k \] とするとき, \( (m',k') = 1 \) である. よって, \[ m' u_0 + k' v_0 = 1 \] をみたす \( u_0 \), \( v_0 \in \mathbb{Z} \) が存在する. \[ u = u_0, \quad v = a v_0 \] とおくと, \begin{align} \omega^u \theta^v &= \omega^{u_0} \theta^{av_0} \\[0.5em] &= e^{\frac{2 \pi i u_0}{m}} e^{\frac{2 \pi i v_0}{k}} \\[0.5em] &= e^{\frac{2 \pi i u_0}{m} + \frac{2 \pi i v_0}{k}} \\[0.5em] &= e^{\frac{2 \pi i (m' u_0 + k' v_0)}{r}} \\[0.5em] &= e^{\frac{2 \pi i}{r}}. \quad \Box \end{align}

(別解) 1 の \( n \) 乗根全体を \( \mu_n \) で表す. 群準同型 \[ \mu_m \longrightarrow \mu_r \, / \, \mu_k, \quad \zeta \longmapsto \overline{\zeta} \tag{*} \] の核は, \( (m,k) = d \) とするとき, \[ \mu_m \cap \mu_k = \mu_d \] である. したがって, 誘導される写像 \[ \mu_m \, / \, \mu_d \longrightarrow \mu_r \, / \, \mu_k \] は単射であるが, \[ \bigl| \, \mu_m \, / \, \mu_d \, \bigr| = \frac{m}{d} = \frac{r}{k} = \bigl| \, \mu_r \, / \, \mu_k \, \bigr| \] なので, この写像全射でもある. これより, (*)も全射なので, \( \mu_r \) は \( \mu_m \) と \( \mu_k \) で生成される. したがって, ある整数 \( u \), \( v \) が存在して, \[ \omega^u \theta^v = e^{2 \pi i / r} \] となる. \( \Box \)