レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習5

次数に関する帰納法で示す.
  1. \( \deg f \le 1 \) のとき: このとき \( f(x) = c \), \( c \in \mathbb{Z}_p \) であり, \[ \left( f(x) \right)^p = c^p = c = f(x^p) \] が成り立つ.
  2. \( \deg f \ge 2 \) のとき: \( \deg f = n \) として, \[ f(x) = c x^n + g(x) \quad \left( 0 \neq c \in \mathbb{Z}_p , \, \deg g \le n-1 \right) \] とおく. このとき, \begin{align} \left( f(x) \right)^p &= \sum_{j=0}^p \binom{p}{j} \left( c x^n \right)^{p-j} \left( g(x) \right)^j \\[0.5em] &= \left(c x^n \right)^p + \left( g(x) \right)^p \\[0.5em] &= c x^{pn} + \left( g(x) \right)^p. \end{align} 帰納法の仮定より, \[ \left( g(x) \right)^p = g(x^p) \] であるから, \[ \left( f(x) \right)^p = c x^{pn} + g(x^p) = f(x^p) \] である. \( \Box \)