レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習4

\[ R := \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_{n-1}] \] とおく. \( R \) の加法群は有限生成である(定理 2, 系 1 の証明参照)ので, その生成元を \[ b_1, \quad \ldots, \quad b_m \] とおく. 任意の \[ \beta \in \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_{n-1}, \alpha] \] は, ある \[ g(x) \in R[x] \] に対して, \[ \beta = g(\alpha) \] と書かれる. \[ f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \in R[x] \] とおき, \( g(x) \) を \( f(x) \) で割る: ある \( q(x) \), \( r(x) \in R[x] \) が存在して, \[ g(x) = q(x) f(x) + r(x), \quad \deg r < \deg f. \] このとき, \( f(\alpha) = 0 \) であるから, \[ \beta = g(\alpha) = r(\alpha) \] である. したがって, \( \beta \) は \[ b_1 \alpha^j, \quad \ldots, \quad b_m \alpha^j \quad (0 \le j \le n-1) \] の \( \mathbb{Z} \) 係数の線型結合である. これは \( \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_{n-1}, \alpha] \) の加法群が有限生成であることを示している. \( \Box \)