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複素整数と有限体の世界(6)ー第 I 部 導入ー仮説 B と仮説 C(1)

数解の個数

からの全ての整数解が生み出されるだろうか?」
私たちが最も興味をもつのはこの問いですが, このことは,
から得られる整数解の個数」
「方程式の全ての整数解の個数」
を比較すれば分かります.

から得られる整数解の個数」は, 符号と \( a_h \) の選択の数より, \[ 2 \, \left(l_1 + 1 \right) \, \left(l_2 + 1 \right) \, \cdots \, \left(l_r + 1 \right) \tag{*} \] 個以下だと分かります.

から得られる整数解の個数」を実際に調べるのは少し面倒なので, まずは, 個数の上限と「方程式の全ての整数解の個数」を比較してみることにします. そこから, 何か手がかりが得られるかもしれません.

簡単のために, 全ての \( h \) に対して, \[ p_h \equiv 1 \pmod{4} \] である場合を調べます.

\( n \) 素因数分解 \( (l_1+1) \cdots (l_r+1) \) 解の個数
\( 1 \) \( 1 \) \( 1 \) \( 4 \)
\( 5 \) \( 5^1 \) \( 2 \) \( 8 \)
\( 13 \) \( 13^1 \) \( 2\) \( 8\)
\( 17\) \( 17^1 \) \( 2\) \( 8\)
\( 25\) \( 5^2\) \( 3\) \( 12\)
\( 29\) \( 29^1 \) \( 2\) \( 8\)
\( 37\) \( 37^1 \) \( 2\) \( 8\)
\( 41\) \( 41^{1}\) \( 2\) \( 8\)
\( 53\) \( 53^{1}\) \( 2\) \( 8\)
\( 61\) \( 61^{1}\) \( 2\) \( 8\)
\( 65\) \( 5^{1} \cdot 13^{1}\) \( 4\) \( 16\)
\( 73\) \( 73^{1}\) \( 2\) \( 8\)
\( 85\) \( 5^{1} \cdot 17^{1}\) \( 4\) \( 16\)
\( 89\) \( 89^{1}\) \( 2\) \( 8\)
\( 97\) \( 97^{1}\) \( 2\) \( 8\)
\( \vdots\) \( \vdots\) \( \vdots\) \( \vdots\)

どうやら, 方程式の整数解の個数は, 式 \[ 4 \, \left(l_1 + 1 \right) \, \left(l_2 + 1 \right) \, \cdots \, \left(l_r + 1 \right) \] で与えられているようです.

から得られる整数解では足りないことになりますが,

「方程式の整数解の個数」
「重複がないとした場合のから得られる整数解の個数
のちょうど 2 倍
という関係が見付かりました. これは, 注目に値する事実です.

ログラム
\( x^2 + y^2 = n \) の整数解をしらみつぶしに求めるプログラムです. 整数値を入力して, 計算ボタンを押してください. (\( 0 \le x \le y \) となるもののみを求めます.)
x 2 + y 2 = n