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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習3

\[ 2r, \quad r^2 - m s^2 \in \mathbb{Z} \] とし, \begin{align} & 2r = k, \quad k \in \mathbb{Z} \\[0.5em] & s = \frac{l}{n}, \quad l, \, n \in \mathbb{Z}, \quad \left(l,n \right) = 1, \quad n > 0 \end{align} とする. このとき, \[ \frac{k^2}{4} - \frac{ml^2}{n^2} \in \mathbb{Z} \tag{*} \] である. \[ \frac{\left( kn \right)^2 - 4 m l^2}{4n^2} \in \mathbb{Z} \] より, \[ 4 \, \bigm| \, \left( kn \right)^2 \] であるから, \( k \) と \( n \) のどちらかは偶数である.
  1. \( k \) が偶数であれば, 式(*)より, \[ \frac{ml^2}{n^2} \in \mathbb{Z}. \] \( (l,n) = 1 \) より, \[ n^2 \mid m. \] \( m \) は平方因子をもたないので \( n=1 \) である. これより, \[ r, \, s \in \mathbb{Z}. \]
  2. \( k \) が奇数であれば, \( n \) は偶数である. \( n = 2n_0 \) とする. 式(*)より, \begin{gather} \frac{k^2}{4} - \frac{ml^2}{4 n_0^2} \in \mathbb{Z}, \\[0.5em] \frac{k^2 n_0^2 - ml^2}{4 n_0^2} \in \mathbb{Z}, \\[0.5em] n_0^2 \, \bigm| \, m, \\[0.5em] n_0 = 1, \\[0.5em] n=2. \end{gather} \( (l,n) = 1 \) より \( l \) は奇数であるから, \[ r = \frac{k}{2}, \quad s = \frac{l}{2}, \quad k, \, l : \text{奇数}. \]
以上 1, 2 より, \[ 2r, \,\, r^2 - m s^2 \in \mathbb{Z} \,\, \Longrightarrow \,\, r = \frac{k}{2}, \,\, s= \frac{l}{2}, \,\, k \equiv l \!\! \pmod{2} \] である.

A. \( \, m \equiv 2 \), \( 3 \pmod{4} \) のとき: \[ r = \frac{k}{2}, \quad s= \frac{l}{2}, \quad k \equiv l \!\! \pmod{2} \] とする. \( k \), \( l \) が奇数であれば, \[ \frac{k^2 - ml^2}{4} \in \mathbb{Z}, \quad k^2 \equiv l^2 \equiv 1 \pmod{4} \] より, \[ m \equiv 1 \pmod{4} \] となるので, \( k \), \( l \) は偶数でなければならない. したがって, \[ 2r, \,\, r^2 - m s^2 \in \mathbb{Z} \,\, \Longleftrightarrow \,\, r, \,\, s \in \mathbb{Z}. \] これより, \begin{align} \left\{ \alpha \in \mathbb{Q}[\sqrt{m}] \, \bigm| \, \alpha \text{は代数的整数} \right\} &= \left\{ r + s \sqrt{m} \, \bigm| \, 2r , \, r^2 - ms^2 \in \mathbb{Z} \right\} \\[0.5em] &= \left\{ r + s \sqrt{m} \, \bigm| \, r, \, s \in \mathbb{Z} \right\}. \end{align}

B. \( \, m \equiv 1 \pmod{4} \) のとき: \[ r = \frac{k}{2}, \quad s= \frac{l}{2}, \quad k \equiv l \!\! \pmod{2} \] とする. このとき, \( 2r \in \mathbb{Z} \) である. \[ r^2 - ms^2 = \frac{k^2 - ml^2}{4} \] であるが, \[ k^2 - ml^2 \equiv k^2 - l^2 \equiv 0 \pmod{4} \] であるから, \[ r^2 - ms^2 \in \mathbb{Z} \] である. したがって, \[ 2r, \,\, r^2 - m s^2 \in \mathbb{Z} \,\, \Longleftrightarrow \,\, r = \frac{k}{2}, \, s = \frac{l}{2}, \, k \equiv l \!\! \pmod{2}. \] これより, \begin{align} \left\{ \alpha \in \mathbb{Q}[\sqrt{m}] \, \bigm| \, \alpha \text{は代数的整数} \right\} &= \left\{ r + s \sqrt{m} \, \bigm| \, 2r , \, r^2 - ms^2 \in \mathbb{Z} \right\} \\[0.5em] &= \left\{ \frac{k + l \sqrt{m}}{2} \, \bigm| \, k \equiv l \pmod{2} \right\}. \quad \Box \end{align}

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