レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習2

(a) \[ 1 + \sqrt{-3} \notin (2) \] であるから, \[ I \neq (2) \] である. また, \begin{align} I^2 &= \left(2, \, 1 + \sqrt{-3} \right) \cdot \left(2, \, 1 + \sqrt{-3} \right) \\[0.5em] &= \left(4, \, 2 + 2\sqrt{-3}, \, -2 + 2\sqrt{-3} \right) \\[0.5em] &= 2 \cdot \left(2, \, 1 + \sqrt{-3}, \, -1 + \sqrt{-3} \right) \\[0.5em] &= 2 \cdot \left(2, \, 1 + \sqrt{-3} \right) \\[0.5em] &= 2I. \quad \Box \end{align}

(b) イデアル \( (2) \) とイデアル \( I \) が素イデアルの積に分解されるとする: \begin{align} (2) &= P_1^{\, l_1} \, P_2^{\, l_2} \, \cdots \, P_r^{\, l_r}, \\[0.5em] I &= P_1^{\, m_1} \, P_2^{\, m_2} \, \cdots \, P_r^{\, m_r}. \end{align} このとき, (a) より, \[ P_1^{\, 2 m_1} \, P_2^{\, 2 m_2} \, \cdots \, P_r^{\, 2 m_r} = P_1^{\, l_1 + m_1} \, P_2^{\, l_2 + m_2} \, \cdots \, P_r^{\, l_r + m_r}. \] \( I \neq (2) \) より, \[ \bigl(m_1, \, m_2, \, \ldots, \, m_r \bigr) \neq \left(l_1, \, l_2, \, \ldots, \, l_r \right) \] であるから, \[ \bigl(2 m_1, \, 2 m_2, \, \ldots, \, 2 m_r \bigr) \neq \left(l_1 + m_1, \, l_2 + m_2, \, \ldots, \, l_r + m_r \right) . \] したがって, 素イデアル分解の一意性は成り立たない. \( \Box \)

(c) \[ f \, \colon \, \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \, / \, I, \quad x \mapsto x + I \] が全射であることはすぐに分かる. \[ 2 \mathbb{Z} \subset \ker f \] より, \[ \ker f = 2 \mathbb{Z}, \, \mathbb{Z} \] であるが, \( \ker f = \mathbb{Z} \) からは \( I = \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) が導かれ矛盾なので, \[ \ker f = 2 \mathbb{Z}. \] したがって, \[ \mathbb{Z} \, / \, 2 \mathbb{Z} \, \simeq \, \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \, / \, I \] である. これより, \( I \) は極大イデアル. よって, 素イデアルである. \( \Box \)

(d) \( J \) を \( (2) \) を含む素イデアルとする. \[ \left( 1 + \sqrt{-3} \right) \, \left( -1 + \sqrt{-3} \right) = -4 \in J \] より, \[ 1 + \sqrt{-3} \in J \quad \text{または} \quad -1 + \sqrt{-3} \in J \] なので, \[ 1 + \sqrt{-3} \in J \] である. したがって, \[ I \subset J. \] \( I \) は極大イデアルであるから, \( I = J \). よって, \( (2) \) を含む素イデアルは \( I \) のみである. \( \Box \)

(e) \( (2) \) が素イデアルの積であるとする: \[ (2) = P_1 \, P_2 \, \cdots \, P_r. \] \( P_j \) は \( (2) \) を含む素イデアルなので \( I \) である. したがって, \[ (2) = I^r = 2^{r-1} I. \] \( (2) \neq I \) であるから \( r \ge 2 \) である. このとき, \[ 2^{r-1} \in (2) = 2^{r-1} I \] より, \[ 1 \in I \] となるが, これは矛盾である. したがって, \( (2) \) は素イデアルの積ではない. \( \Box \)