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複素整数と有限体の世界(3)ー第 I 部 導入ー複素整数への分解(1)

今回から改めて, 方程式 \[ x^2 + y^2 = n \quad \tag{#} \] (\( n \) は 1 以上の整数)の整数解について考えていきます.

(本質的に同じと見做される解を除くために前回まで付けていましたが, これからは, 条件 \[ 「 \,\, 0 \le x \le y \,\, 」 \] のない方程式を考察します. 今後の議論においては, こちらの方が考えやすくなります.)

私たちは, 複素整数を用いた方程式の解法に興味をもっているのですが,

「 複素整数を用いる 」
というアイディアが生じてくる, その源泉から話を始めたいと思います.

程式 \( x^2 - y^2 = n \)

方程式 \[ x^2 - y^2 = n \quad \tag{##} \] は次のようにして解くことができます:

  1. 両辺とも積の形に書いて, 方程式を \[ \left(x + y \right) \left(x - y \right) \, = \, p_1^{\, l_1} \, p_2^{\, l_2} \, \cdots \, p_r^{\, l_r} \] と変形する(右辺は \( n \) の素因数分解).
  2. 各 \[ \bigl(\varepsilon, \, a_1, \, \ldots, \, a_r \bigr), \quad \varepsilon = \pm 1, \quad 0 \le a_h \le l_h \,\,\,\, \left(1 \le h \le r \right) \] に対して, 連立方程式 \[ \left\{ \, \begin{array}{l} x + y \, = \, \varepsilon \, p_1^{\, a_1} \, p_2^{\, a_2} \, \cdots \, p_r^{\, a_r}, \\[0.5em] x - y \, = \, \varepsilon \, p_1^{\, l_1 - a_1} \, p_2^{\, l_2 - a_2} \, \cdots \, p_r^{\, l_r - a_r} \end{array} \right. \] を解く.
似の手法を用いる

方程式 と方程式 の形は似ているので, 自然に次のような考えが生まれます:

「 類似の手法で方程式を解けないか? 」
単純素朴な発想ですが, 深淵へと通じる秘密の入り口というものは, 案外身近なところにあるものです.

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