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複素整数と有限体の世界(2)ー第 I 部 導入ー複素整数の魔法(2)

前回の続きです. 複素整数を利用して, 方程式 \begin{equation} x^{2} + y^{2} = 8633 \, \left(\, = 89 \times 97 \right), \quad 0 \le x \le y \tag{#} \end{equation} の整数解を求めます.

素整数の共役

複素整数 \[ z = a + b \, i \] に対して, \[ \overline{z} := a - b \, i \] をその共役といいます. (記号 「\( := \)」 は 「左辺を右辺で定義する」 という意味です.)

方程式を解く際には, 共役に関する以下の等式が役立ちます:

\begin{align} &\diamondsuit \quad \overline{\left(a + b \, i \right) \left(c + d \, i \right)} = \overline{\left(a + b \, i \right)} \cdot \overline{\left(c + d \, i \right)}, \\[0.5em] &\diamondsuit \quad \left(a + b \, i \right) \cdot \overline{\left(a + b \, i \right)} = a^{2} + b^{2}. \end{align}
簡単に示せますので, 証明が気になる方は計算してみてください.

程式を解く

実際に方程式を解いてみます.

(ステップ1) 各素因子に対して方程式を解く.

(a) 素因子 89:
\( x^2 \) \( + \) \( y^2 \) \( = \) \( 89, \) \( \quad 0 \le x \le y \).
\( x = 0 \quad \) \( 0 \) \( 89 \) \( (\times) \)
\( x = 1 \quad \) \( 1 \) \( 88 \) \( (\times) \)
\( x = 2 \quad \) \( 4 \) \( 85 \) \( (\times) \)
\( x = 3 \quad \) \( 9 \) \( 80 \) \( (\times) \)
\( x = 4 \quad \) \( 16 \) \( 73 \) \( (\times) \)
\( x = 5 \quad \) \( 25 \) \( 64 \) \( (\text{〇}) \) \( \,\, \longrightarrow \,\, (x, \, y) \, = \, (5, \, 8) \)
\( x = 6 \quad \) \( 36 \) \( 53 \) \( (\times) \)
(b) 素因子 97:
\( x^2 \) \( + \) \( y^2 \) \( = \) \( 97, \) \( \quad 0 \le x \le y \).
\( x = 0 \quad \) \( 0 \) \( 97 \) \( (\times) \)
\( x = 1 \quad \) \( 1 \) \( 96 \) \( (\times) \)
\( x = 2 \quad \) \( 4 \) \( 93 \) \( (\times) \)
\( x = 3 \quad \) \( 9 \) \( 88 \) \( (\times) \)
\( x = 4 \quad \) \( 16 \) \( 81 \) \( (\text{〇}) \) \( \,\, \longrightarrow \,\, (x, \, y) \, = \, (4, \, 9) \)
\( x = 5 \quad \) \( 25 \) \( 72 \) \( (\times) \)
\( x = 6 \quad \) \( 36 \) \( 61 \) \( (\times) \)

(ステップ2) もとの方程式を解く.

(a) 1つ目の解: \[ z = \bigl(5 + 8 \, i \bigr) \bigl(4 + 9 \, i \bigr) = -52 + 77 \, i \] とおき, \( \, z \overline{z} \, \) を 2 通りに計算すると, \begin{align} \diamondsuit \quad z \overline{z} &= \bigl(5 + 8 \, i \bigr) \bigl(4 + 9 \, i \bigr) \cdot \overline{\bigl(5 + 8 \, i \bigr) \bigl(4 + 9 \, i \bigr)} \\[0.5em] &= \bigl(5 + 8 \, i \bigr) \overline{\bigl(5 + 8 \, i \bigr)} \cdot \bigl(4 + 9 \, i \bigr) \overline{\bigl(4 + 9 \, i \bigr)} \\[0.5em] &= \bigl(5^{2} + 8^{2} \bigr) \bigl(4^{2} + 9^{2} \bigr) \\[0.5em] &= 89 \cdot 97 = 8633, \\[1em] \diamondsuit \quad z \overline{z} &= 52^{2} + 77^{2}. \end{align} これより, (x, y) = (52, 77) は方程式の整数解.

(b) 2つ目の解: \[ z = \bigl(5 + 8 \, i \bigr) \bigl(4 - 9 \, i \bigr) = 92 - 13 \, i \] とおき, \( \, z \overline{z} \, \) を 2 通りに計算すると, \begin{align} \diamondsuit \quad z \overline{z} &= \bigl(5 + 8 \, i \bigr) \bigl(4 - 9 \, i \bigr) \cdot \overline{\bigl(5 + 8 \, i \bigr) \bigl(4 - 9 \, i \bigr)} \\[0.5em] &= \bigl(5 + 8 \, i \bigr) \overline{\bigl(5 + 8 \, i \bigr)} \cdot \bigl(4 - 9 \, i \bigr) \overline{\bigl(4 - 9 \, i \bigr)} \\[0.5em] &= \bigl(5^{2} + 8^{2} \bigr) \bigl(4^{2} + 9^{2} \bigr) \\[0.5em] &= 89 \cdot 97 = 8633, \\[1em] \diamondsuit \quad z \overline{z} &= 92^{2} + 13^{2}. \end{align} これより, (x, y) = (13, 92) は方程式の整数解.

の組み合わせ

上の計算では, \[ z = z_1 \, z_2, \quad (z_1, \, z_2 ) = \bigl( 5 + 8 \, i, \, 4 + 9 \, i \bigr), \,\, \bigl( 5 + 8 \, i, \, 4 - 9 \, i \bigr) \] から, 方程式の整数解 \[ \left(x, \, y \right) = \bigl(52, \, 77 \bigr), \,\, \bigl(13, \, 92 \bigr) \tag{☆} \] を導きました. \( (z_1, z_2) \) として, \begin{align} z_1 &= \pm \, 5 \pm 8 \, i, \,\, \pm \, 8 \pm 5 \, i, \\[0.5em] z_2 &= \pm \, 4 \pm 9 \, i, \,\, \pm \, 9 \pm 4 \, i, \end{align} の他の組み合わせを用いることもできますが, 以外の解が得られることはありません.

ての整数解が得られたか?

他に整数解があるのかどうかは気になるところですが, 計算機でしらみつぶしに調べてみると, 方程式の整数解は で尽きることが分かります.

整数解が全て求まって, 今の場合, 非常にうまくいったわけですが, これはこの特殊な場合に限られることなのでしょうか? それとも, 一般的に成り立つことなのでしょうか?

次回から, この疑問を追求してみたいと思います. 状況を一般的にして, 改めて, 方程式 \[ x^2 + y^2 = n, \quad n \ge 1 \,\, \text{は整数} \] の整数解について, 考察していきます.